100-річчю від дня народження Положія Г. М. присвячено. Про один напрямок практичного застосування теоретичної спадщини Г. М. Положія

Розглянуто 2 напрямки наукових досліджень член-кореспондента Г. М. Положія: метод сумарних зображень для числового розв'язування крайових задач математичної фізики та метод (p,q)-аналітичних функцій. Відзначено характерні якості цих методів і вказано на можливості ефективного комплексного застосування цих методів у нових прикладних проблемних областях, зокрема, у оптимізаційних задачах математичної теорії фільтрації під час проектування гідротехнічних споруд.

A few ways to find approximate solution terms of the method of generalized separation of variables / V. M. Biletskyy

Метод узагальненого розділення змінних будує наближення розв'язку задачі у вигляді суми доданків із розділеними змінними. Доданки знаходять послідовно як розв'язки певних мінімізаційних задач. Розглянуто деякі способи знаходження наступного доданку наближеного розв'язку та наведемо формальний опис алгоритмів методу.

A gradient method of solving inverse eigenvalue problem

Розглянуто обернену задачу на власні значення, яка включає класичні адитивні та мультиплікативні спектральні задачі. Показано спосіб зведення оберненої задачі до багатопараметричної задачі на власні значення. Запропоновано числовий метод відшукання наближеного розв'язку спектральної задачі шляхом розв'язання еквівалентної їй варіаційної задачі. Проведено числові експерименти для ілюстрації роботи методу.

A new method for indexing and searching figures invariant under affine transformations: 1, 2007

Обробка запитів до великої бази даних фігур для пошуку схожих вимагає ефективних і швидких методів порівняння фігур та їх індексації. Індексація фігур є складною задачею, оскільки неможливо одержати міру схожості фігур, яка б відповідала логіці людини. Запропоновано новий алгоритм для індексування фігур та пошуку схожих у наборі фігур. Як допоміжний алгоритм для їх порівняння з точністю до афінних перетворень та відповідне представлення фігури у вигляді функції повороту були взяті результати дослідження. Використання базису Хаара в процесі індексування є основною ідеєю запропонованого алгоритму. Застосування цього базису дозволило зручно переходити від грубого до найточнішого представлення. Експериментальні дані показали, що ця ідея спростила та підвищила ефективність процесу індексації в порівнянні з існуючими методами.

A new mіrror-prox algorithm for variational inequalities = Новий дзеркально-проксимальний алгоритм для варіаційних нерівностей

Розглянуто варіаційні нерівності з ліпшицевими та псевдомонотонними операторами. Велика кількість важливих прикладних задач дослідження операцій може бути сформульована у цій формі. Для розв'язання варіаційних нерівностей пропонується новий метод типу дзеркального спуску (дзеркально-проксимальний алгоритм). Метод можна проінтерпретувати як модифікацію алгоритму Попова з використанням проектування на допустиму множину у розумінні відстані Брегмана. Основний теоретичний результат - теорема про збіжність методу. Наведено результати декількох чисельних експериментів.

About finding a nearest pair of points on two nonintersecting smooth curves in Euclidean space = Про пошук найближчої пари точок на двох гладких кривих, що не перетинаються в Евклідовому просторі

Представлено результати чисельних експериментів з пошуку найближчої пари точок, які лежать на двох гладких кривих, що не перетинаються в евклідовому просторі, тобто двох точок на кривих з мінімальною відстані між ними. Запропонована математична модель основана на розв'язку рівнянь руху, які описують динаміку взаємодії матеріальних точок. Наведено приклади застосування методу до деяких просторових кривих.

About minimal informational efforts by solving exponentially ill-posed problems

Розглянуто питання інформаційної складності для експоненціально некоректних задач. Дослідження виконано для інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду з оператором скінченної гладкості. Запропоновані проекційні схеми надають змогу досягти оптимального порядку точності для апостеріорного вибору параметра регуляризації за принципом рівноваги. Крім того, такий підхід зберігає мінімальний обсяг інформаційних затрат.

About time-varying parameters recursive estimation of systems: 2, 2004

Algebraic and trigonometric generalized interpolation of Hermite - Birkhoff type for operators defined on functional spaces and functions of matrix variable, and their applications / A. P. Khudyakov, Ye. V. Panteleyeva, A. A. Trofimuk

Побудовано алгебричну формулу типу Ерміта (ФТЕ) для операторів, визначених у функціональних просторах. Інтерполяційну формулу подібного виду, яка містить значення диференціалів Гато довільного порядку (ДГДП), побудовано на множині матриць. Отримано матрицю, аналогічну до формули Лейбніца. Сконструйовано формулу апроксимації ДГДП із матричними аргументами. На основі матричної інтерполяційної ФТЕ побудовано числовй метод для розв'язування задачі Коші (ЗК) для матрично-диференціального рівняння (МДР). Продемонстровано приклад числового розв'язування ЗК для МДР першого порядку. Побудовано та досліджено параметричне сімейство тригонометричних матричних інтерполяційних поліномів типу Ерміта - Біркгофа.

Algebraic and trigonometric generalized interpolation of Hermite-Birkhoff type for operators defined on functional spaces and functions of matrix variable, and their applications = Алгебраїчне та тригонометричне узагальнене інтерполювання Ерміта-Біркгофа для операторів, заданих у функціональних просторах, функцій матричного аргумента та їх застосування

Для операторів, заданих в функціональних просторах, побудовано алгебраїчну інтерполяційну формулу ермітового типу. Інтерполяційну формулу аналогічного типу, що містить значення диференціала Гато довільного порядку, побудовано для операторів на множині матриць. Одержано матричні аналоги формули Лейбніца. Побудовано формулу наближеного обчислення диференціала Гато довільного порядку від функції матричного аргументу. На основі матричної інтерполяційної формули ермітового типу одержано наближений метод розв'язання задачі Коші для матрично-диференціального рівняння. Побудовано ілюстративний приклад наближеного розв'язування задачі Коші для матрично-диференціального рівняння першого порядку. Побудовано та досліджено параметричне сімейство тригонометричних матричних інтерполяційних многочленів Ерміта-Біркгофа.

An alternating boundary integral based method for a Cauchy problem for Klein-Gordon equation

Розглянуто числове розв'язування задачі Коші для рівняння Клейна - Гордона у двозв'язній плоскій області. Зважаючи на некоректність цієї лінійної оберненої задачі, використано альтернуючий метод, який має регуляризуючі властивості. Це призводить до розв'язування 2-х мішаних крайових задач на кожній ітерації. Ці мішані задачі наближено розв'язуються за методом граничних інтегральних рівнянь. Наведено результати числових експериментів.

An iterative method for the Cauchy problem for the Laplace equation in three-dimensional domains

Розглянуто ітераційний узагальнений метод Ландвебера для задачі Коші для рівняння Лапласа у двозв'язних тривимірних областях. Цей метод є регуляризуючою процедурою для одержання стабільного розв'язку. На кожному кроці ітераційного методу потрібно розв'язати дві коректні прямі задачі для рівняння Лапласа. Кожна пряма задача вирішується методом граничних інтегральних рівнянь із застосуванням проекційного методу Гальоркіна для дискретизації. Наприкінці наведені деякі чисельні результати.

Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation = Інший випадок матриці інцидентності для біваріантної інтерполяції Біргофа

Надано спеціальний випадок одновимірної задачі інтерполяції Біркгофа і за її допомогою апроксимовано розв'язок граничної задачі для рівняння Лапласа. Розглянуто інший тип двовимірної задачі інтерполяції Біркгофа, в якій умови інтерполяції задані в точках з кратністю. Введено інше позначення для матриці інцидентності. Зроблено порівняння апроксимацій Біркгофа і Хаара і показано перевагу інтерполяції Біркгофа.

Application of (G'/G)-expansion method to two Korteweg - de Vries type dynamic systems

Метод G'/G розвинення [12] застосовано до двох нелінійних динамічних ситем типу Кортевега - де Фріза [20]. Для обох систем побудовано розв'язки типу біжучих хвиль у формі гіперболічних, раціональних і тригонометричних функцій. Одержані результати порівняно з результатами, одержаними tank-методом [4], і графічно проаналізовано.

Application of finite elements method for solving variational problems of channel flows

Побудовано початково-крайову задачу руслового потоку в гідродинамічному наближенні. Сформульовано варіаційну постановку задачі, для якої при дискретизації за просторовою змінною використано метод скінченних елементів з базисними лінійними і квадратичними функціями та при дискретизації за часом - однокрокову рекурентну схему. В умовах рівноваги сил опору і сили земного тяжіння побудовано рівняння кінематичної хвилі, з врахуванням доданку із числом Рейнольдса та другою похідною за просторовою змінною. На тестовому прикладі показано порівняння цих двох підходів з врахуванням зміни градієнтів лінії середнього дна русла.

Approximation and estimates in the periodic representation of real numbers of the closed interval [0, 5; 1] by A2-continued fractions / M. V. Pratsiovytyi, O. P. Makarchuk, A. S. Chuikov

Знайдено оцінки наближень дійсних чисел відрізка [0, 5; 1] ланцюговими A2-дробами, елементи яких належать множині {<$E 1 over 2>, 1}. Доведено, що A2-раціональні числа (числа, що мають 2 різних нескінченних A2-зображення) крім двох нескінченних, мають зліченну множину різних скінченних зображень. Спростовано гіпотезу, що кожне раціональне число є A2-раціональним та обговорено проблему критерію раціональності числа за його ланцюговим A2-зображенням.

Arithmetical complexity of modified fully discrete projection method for the periodic integral equations

Розглянуто задачу скорочення обсягу інформаційних затрат у разі розв'язання періодичних інтегральних рівнянь з мінімальною похибкою. Для цього запропоновано деяку модифікацію повністю дискретного проекційного методу. Доведено, що ця модифікація зберігає найкращу точність числового методу в метриці соболєвських просторів з обсягом арифметичних дій N log N за порядком.

Boundary value problem for the two-dimensional Laplace equation with transmission on thin inclusion = Крайова задача для двовимірного рівняння Лапласа з умовою спряження на тонкому включенні

Розглянуто задачу для рівняння Лапласа в обмеженій двовимірній Ліпшицевій області з тонким включенням, на якому задана трансмісійна гранична умова, тобто умова, що містить як стрибок нормальної похідної, так і граничне значення шуканої функції. Доведено еквівалентність задачі у диференціальному формулюванні та відповідної варіаційної задачі. Досліджено питання існування та єдиності розв'язку поставленої задачі у відповідних функціональних просторах. На основі інтегрального надання розв'язку вихідна диференціальна задача зведена до системи граничних інтегральних рівнянь. Побудовано алгоритм числового розв'язування отриманої системи інтегральних рівнянь за допомогою методу колокації. Представлено числові результати наближеного розв'язуваня деяких конкретних граничних задач.

Classification of multivariate samples using Petunin ellipses = Класифікація багатовимірних вибірок за допомогою еліпсів Петуніна / D. A. Klyushin, Ya. V. Shtyk

Досліджено метод класифікації багатовимірних вибірок за допомогою еліпсів Петуніна. Для тестування створено вибірки, які мають розподіли різних типів. На основі розрахованої точності запропонованих критеріїв класифікації виявлено переваги та недоліки кожного з критеріїв і специфіку методу в цілому. Встановлено, що як лінійні, так і квадратичні критерії дають високу точність для вибірок із невеликою дисперсією. Зі збільшенням дисперсії точність лінійного критерію залишається високою, точність квадратичного критерію зменшується. Обидва критерії є стійкими до шуму. Цей важливий факт робить їх корисними у практичному застосуванні. Зокрема, метод виявив високу ефективність при діагностиці раку молочної залози навіть для малих вибірок.

Combined Newton - Kurchatov method under the generalized Lipschitz conditions for the derivatives and divided differences

Доведено локальну збіжність комбінованого ітераційного процесу, побудованого на основі методу Ньютона і методу лінійної інтерполяції Курчатова, для розв'язування нелінійних операторних рівнянь в банаховому просторі за узагальнених умов Ліпшиця для похідних першого порядку і поділених різниць першого та другого порядку. Визначено радіус кулі збіжності та швидкість збіжності методу, знайдено область єдиності розв'язку нелінійного рівняння.