В монографии излагаются история решения седьмой проблемы Гильберта и основные результаты, полученные с помощью методов, примененных для ее решения. Значительная часть книги посвящена изложению найденного в 1966 г. А. Бейкером усиления метода А. О. Гельфонда и полученным в связи с этим эффективным решением ряда задач теории чисел. Большая часть приведенных в книге результатов на русском языке публикуется впервые. Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся по теории чисел.

Теория трансцендентных чисел сформировалась как теории, имеющая свои специфические методы и достаточное количество уже решенных проблем, только в XX веке. Отдельные постановки проблем этой теории существовали давно, и первая из них, насколько нам известно, принадлежит Л. Эйлеру. Проблема приближения алгебраических чисел рациональными дробями или, более общо, алгебраическими же числами также может быть отнесена к теории трансцендентных чисел, несмотря на то, что изучение приближения алгебраических чисел рациональными дробями стимулировалось проблемами теории дио-фантовых уравнений. Целью настоящей монографии является не только показать современное состояние теории трансцендентных чисел и изложить основные методы этой теории, но и дать представление об историческом ходе развития се методов п о тех связях, которые существуют между этой теорией и другими проблемами теории чисел.

Эта книга доступна широкому кругу читателей: студентам университетов, учительских и педагогических институтов, преподавателям и учащимся средних школ, техникумов, педагогических училищ и просто любителям математики. Для понимания первых трех глав ее требуется только- знание школьного курса алгебры и элементов тригонометрии. Лишь четвертая, очень короткая, глава требует самых скромных сведений из интегрального- исчисления. Эти сведения можно почерпнуть из любого учебника математического анализа. Однако без четвертой главы работа имела бы незаконченный характер.