Теория полей классов — глобальная и локальная — является одной из вершин классической алгебраической теории чисел. Ее цель — описание абелевых расширений (т. е. расширений с коммутативной группой Галуа) данного глобального или локального поля. Это описание дается в терминах основного поля. Одновременно изучается арифметика таких абелевых расширений: законы разложения простых идеалов основного поля в данном расширении, законы взаимности.