Розглянуто методи й алгоритми параметричної оптимізації: градієнтні; покоординатного, прямого, випадкового пошуку; умовної оптимізації. Наведено методи розв'язання задач лінійного, дробово-лінійного, динамічного програмування та матричних ігор.

Приведены решения около 160-ти упражнений и задач по основным разделам оптимизации: безусловной оптимизации, оптимизации с ограничениями, двойственности, линейного программирования, выпуклого анализа, субдифференциального исчисления и преобразования Лежандра - Фенхеля.

Індекс рубрикатора НБУВ: В173 я73 + З813.11 я73 + З965-01 я73

Рубрики:

Математичні методи оптимізації

Моделювання динамічних систем

Автоматика

Шифр НБУВ: ВА673273 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто питання лінійного та динамічного програмування. Описано системи масового обслуговування. Розкрито суть понять марківського випадкового процесу, потоків подій, платіжної матриці. Проаналізовано елементи теорії ігор, описано особливості розв'язання матричних ігор методами лінійного програмування (ЛП). Запропоновано моделі призначення, мережні та комбінаторні моделі, моделі керування запасами. Охарактеризовано принцип оптимальності Беллмана. Викладено симплекс-метод для розв'язання задач ЛП, метод найменшої вартості (мінімального елементу).

Рассмотрены вопросы линейного и динамического программирования. Описаны системы массового обслуживания. Раскрыта сущность понятий марковского случайного процесса, потоков событий, платежной матрицы. Проанализированы элементы теории игр, описаны особенности решения матричных игр методами линейного программирования (ЛП). Предложены модели назначения, сетевые и комбинаторные модели, модели управления запасами. Охарактеризован принцип оптимальности Беллмана. Изложены симплекс-метод для решения задач ЛП, метод наименьшей стоимости (минимального элемента).

Изложены основные теоретические положения и методы решения задач оптимизации. Рассмотрены методы и алгоритмы линейного программирования, а также численные методы одно-, многомерной и условной многомерной оптимизации. Описаны общие критерии существования безусловного и условного экстремума многомерных функций, раскрыты алгоритмические особенности двойственного симплекс-метода и его применение для решения параметрических и целочисленных задач линейного программирования. Рассмотрены основные методы нулевого, первого и второго порядка безусловной минимизации функций нескольких переменных.

Розкрито основні поняття та принципи дослідження операцій. Охарактеризовано моделі лінійного програмування та способи їх розв'язування. Розглянуто елементи двоїстості у лінійному програмуванні, а також спецільні задачі лінійного програмування - транспортну задачу та задачу цілочислового лінійного програмування. Увагу приділено елементам теорії ігор, зведенням матричної гри до пари взаємно двоїстих задач лінійного програмування, задачам нелінійного та динамічного програмування та методам їх розв'язування. Подано інформацію про метод штучного базису, опуклі функції, квадратичне програмування, принцип оптимальності Беллмана, метод множників Лангранжа.

Висвітлено особливості лінійного програмування (ЛП), розглянуто його загальну задачу (ЗЗЛП), основні означення та геометричну інтерпретицію. Проаналізовано геометричні властивості припустимої множини ЗЛП та алгебричні властивості ЗЗЛП. Наведено канонічну форму ЗЛП і запропоновано симплекс-метод її розв'язання. Обгрунтовано проблему "зациклення" симплекс-методу. Охарактеризовано пошук початкового базисного вектора, зокрема, за допомогою М-методу. Розглянуто двоїсті ЗЛП, теореми двоїстості та двоїстий симплекс-метод.

Висвітлено сучасні методи розв'язування задач одно- та багатовимірної, безумовної й умовної оптимізації. Розглянуто числові методи пошуку екстремуму функції однієї змінної (безумовна оптимізація), які відіграють важливу роль у більш складних задачах. Увагу приділено безумовній оптимізації функції кількох змінних, описано методи прямого пошуку (нульового порядку, в алгоритмах яких обчислюються лише значення цільової функції), градієнтні методи (першого порядку, в алгоритмах яких використовуються значення перших частинних похідних цільової функції), а також методи другого порядку, в алгоритмах яких разом з першими частинними похідними використовуються другі частинні похідні цільової функції. Надано відомості про числові методи розв'язування задач лінійного та нелінійного програмування. Розглянуто постановку транспортної задачі, наведено математичний опис та умови існування її розв'язку. Розкрито алгоритм розв'язування транспортної задачі методом потенціалів.

Розглянуто транспортні задачі без обмежень на пропускні здатності комунікацій і транспортні задачі з обмеженнями на пропускні здатності комунікацій. Увагу приділено побудові базисного плану та його інтерпретації, методам північно-західного кута, мінімального елемента, потенціалів. Описано задачу про призначення, оптимізаційні задачі на мережах. Надано відомості про цілочислове та дискретне програмування, оптимальні змішані й активні стратегії.

Викладено сучасні методи й алгоритми для розв'язування задач оптимізації, що виникають в різних областях науки і техніки, у сфері управління економічними, соціальними, екологічними, технічними та іншими процесами. Розглянуто задачі оптимізації в багатокритеріальних та ієрархічних системах, задачі одновимірної оптимізації та безумовної оптимізації (диференційованої та недиференційованої), лінійного програмування, нелінійного та стохастичного програмування, оптимізації в нескінченновимірних просторах. Описано спеціальні методи розв'язування мінімаксних задач і відшукання сідлових точок.

Розглянуто основи теорії та методів оптимізації; концептуальні засади теорії оптимізації в економіці. Висвітлено історію розвитку теорії оптимізації, розкрито основні поняття та постановку задачі оптимізації. Подано інформацію про умови існування розв'язків оптимізаційних задач, приклади економічних оптимізаційних задач та їх формалізацію. Наведено основні класи оптимізаційних задач, класичний метод пошуку екстремуму функції однієї змінної. Розглянуто дослідження функцій однієї змінної за допомогою похідних. Увагу приділено основним напрямам використання класичного методу пошуку екстремуму функції однієї змінної в економічних дослідженнях. Наведено класичний метод пошуку екстремуму функції багатьох змінних. Висвітлено загальні положення теорії опуклого програмування, наведено числові методи оптимізації функцій однієї змінної. Розкрито основні класи числових методів оптимізації функції багатьох змінних, основні оптимізаційні моделі економічних процесів і систем. Викладено прикладні теорії та методи оптимізації в економіці: основи лінійного програмування, симплексний метод, транспортна задача, цілочислове програмування, задачі теорії ігор, метод множників Лагранжа, методи оптимального управління, динамічного програмування, стохастичного програмування, теорія графів, сіткове планування.

Рассмотрена математическая формулировка задачи оптимизации, приведена классификация задач и основные понятия и определения, используемые в теории оптимизации. Даны практические примеры задач оптимизации. Изложены основные аналитические методы решения задач оптимизации различных классов, таких, как одномерные задачи, многомерные задачи без ограничений, задачи с ограничениями в виде равенства и неравенств. Приведены общие сведения о численных методах оптимизации, применяемых для задач различного класса. Дан обзор всех наиболее важных типов методов, начиная от методов поиска локальных экстремумов функций одной переменной и заканчивая методами глобальной оптимизации.

Викладено основи теорії та методи розв'язування моделей оптимізації, які формують класичну базу сучасної теорії оптимізації. Розглянуто безумовні та умовні оптимізації функцій однієї та багатьох змінних, а також спеціальні класи моделей та методів умовної оптимізації, які широко використовуються у різних галузях знання та практичної діяльності. Викладено основи теорії мінімізації функції однієї змінної. Надано поняття мінімуму функції такої змінної. Розглянуто класичний метод мінімізації функції однієї змінної, прямі числові методи, метод перебору (рівномірного пошуку), методи поділу відрізка пополам, метод золотого перерізу, метод Фібоначчі, метод квадратичної інтерполяції та ін. Викладено теоретичні основи та методи безумовної мінімізації функції багатьох змінних. Наведено постановку задачі безумовної мінімізації функції багатьох змінних.

Внимание уделено основным вопросам математического моделирования. Рассмотрены этапы исследования операций, изложена методика их проведения. Раскрыты основные понятия и этапы математического моделирования, описаны стандартные экономико-математические модели. Освещены особенности имитационного моделирования и основные понятия оптимизации. Описаны возможности системы компьютерной математики Maple для решения задач оптимизации различных типов. Приведено большое количество примеров, а также свыше 250-ти задач на составление математических моделей. Дополнительно приведен аннотированный библиографический список, посвященный различным аспектам моделирования.

Розглянуто основні поняття та методологічні принципи дослідження операцій, математичні методи вирішення задач оптимізації, а також методи моделювання процесів, що досліджуються. Значну увагу приділено розкриттю концептуальних проблем вирішення задач, основам математичного апарату і засобам їх реалізації.

Викладено метод точної квадратичної регуляризації для розв'язування задач глобальної оптимізації. Зазначено, що суть методу полягає в перетворенні мультимодальних задач до унімодальних. Перевірка ефективності цього методу здійснюється за допомогою розв'язування великої кількості складних тестових і прикладних задач мультимодальної оптимізації. Всі наведені задачі дано з розв'язками автора та кращими результатами, одержаними іншими авторами. Результатами порівняльних чисельних експериментів підтверджено перевагу даного методу.

Розглянуто основні питання сучасної теорії та методам розв'язування оптимізаційних задач варіаційного числення. Викладено постановка відповідних задач, деякі відомості з курсу математичного аналізу, які необхідні для засвоювання матеріалу, наведено основні визначення, вказано алгоритм розв'язку задач на основі необхідних і достатніх умов екстремуму функціоналів із демонстрацією на конкретних прикладах, що дозволяє засвоїти основні ідеї варіаційного числення.

Охоплено основні розділи задач математичного програмування з чіткою та нечіткою постановками. Наведено матеріали й основні поняття з лінійного, нелінійного та динамічного програмування. Розглянуто як теоретичні так і практичні питання задач економіки. Визначено методологію побудови оптимізаційних математичних моделей економічних задач і різноманітні прийоми як аналітичного, так і наближеного вирішення цих задач.

Викладено теоретичні основи моделей та методів оптимізації, які формують класичну базу сучасної теорії оптимізації. Матеріал підручника структурований на три частини, що відповідно присвячені безумовній та умовній оптимізації функцій однієї і багатьох змінних, спеціальним класам моделей та методів умовної оптимізації, які широко використовуються у різних галузях знань та практичної діяльності, а також прикладним аспектам сучасного комп'ютерного забезпечення оптимізаційних методів і моделей. Підручник адресований студентам не тільки економічних, а й математичних та інших спеціальностей вишів, навчальні плани яких передбачають вивчення дисциплін, пов'язаних з методами та моделями оптимізації.