Викладено основні поняття та факти функціонального аналізу: простори, оператор, функціонал. Наведено різноманітні додатки функціонального аналізу в прикладній математиці. Запропоновано задачі та вправи різноманітного рівня складності, які можна використовувати на практичних і семінарських заняттях.

Розглянуто поняття метричних і топологічних просторів. Розкрито аспекти добутку двох топологічних просторів, метрики, повноти. Викладено основні методологічні положення теорії міри, зокрема, зовнішньої міри, продовження мір, міри Лебега на відрізку. Окреслено клас вимірних функцій і операцій на ньому, прості функції. Описано особливості означення та найпростіші властивості інтеграла Лебега. Увагу приділено розгляду теореми Леві про послідовності та ряди й оберненій теоремі Фубіні. Охарактеризовано лінійні операції над підмножинами, інваріантне середнє на комутативній півгрупі. Поглиблено дані про основи критеріїв неперервності лінійного оператора, про проектори та продовження з замкненого підпростору. Висвітлено функції обмеженої варіації та загальний вигляд борелевого заряду на відрізку, розглянуто абсолютно неперервні функції й абсолютно неперервні борелеві заряди. Описано фактор-простір, опуклі функціонали та функціонал Мінковського. Акцентовано увагу на властивостях куль у нормованому просторі, проекторах і продовженні з замкненого підпростору. Наведено теореми Гана і Радона - Нікодима, сформульовано теорему Ріса - Маркова - Какутані. Розкрито питання зв'язку між дійсними та комплексними функціоналами, особливості лінійних функціоналів у просторі з базисом, а також матриці оператора. Приділено увагу висвітленню критеріїв збіжності ортогонального ряду, властивостей неперервних функцій від оператора, нерівності Гельдера. Охарактеризовано принцип Шаудера, аксіоматику та термінологію, рефлексні простори, а також цілком монотонні функції.

Розглянуто операції над множинами. Наведено системи множин. Проаналізовано властивості вимірних функцій. Подано інформацію про зв'язок між інтегралами Рімена та Лебега. Приділено увагу теоремі Фубіні. Надано відомості про абсолютно неперервні міри, заряди та функції. Розкрито зміст поняття топологічного простору. Охарактеризовано деякі наслідки з теореми Гана - Банаха. Викладено елементи теорії узагальнених функцій.

Наведено основні поняття, принципи, формули та теореми функціонального аналізу. Зазначено, що цей апарат застосовано до дослідження різних типів операторних рівнянь. Розглянуто також простори узагальнених функцій, які надають змогу будувати узагальнені розв'язки цих рівнянь. Наведено методи аналізу нелінійних операторних рівнянь. Запропоновано задачі для активного вивчення матеріалу.