Purpose. The development of analytical methods for designing technological motion trajectories of objects of labour in the state space with the purpose of construction of closed PDE-models, used to describe the manufacturing system. Methodology. For derivation of an equation of the labour object movement in the phase space of states, there has been applied a mathematical tool and the variational calculation methods of analytical mechanics. Findings. An equation of labour object movement in the state of space has been derived and motion integrals, related to the uniformity of time and state space have been considered. Originality. PDE-models of manufacturing systems, used for the engineering of the high performance manufacturing control systems have been improved. The offered model of technological resources transfer to the object of labour is based not on the traditional phenomenological description of the static production phenomena, but on conservation laws, which characterize the transfer process of technological resources to the object of labour and space-time structure of the manufacturing process. It allowed deriving the equation of the objects of labour movement along the manufacturing route, followed by the construction of non-steady-state equations of the PDE models on their ground for the description of the parameters status of the manufacturing process. While deriving the equations of the technological path of movement of the object of labour there were taken into consideration differential constraints, being applied by the manufacturing system to the transfer process of technological resources of the objects of labour, resulting from their interaction with production equipment and against each other in the course of transfer from one manufacturing operation to another. Practical value. Methods for driving the equation of technological path of the object of labour allow developing high-quality models of the transfer processes of the manufacturing system, which are the basis for the high quality enterprise management system engineering with a straight flow method of industrial organization.

Purpose. The development of analytical methods for calculating the parameters of a composite conveyor line using the models containing partial differential equations. Methodology. To calculate the parameters of the conveyor line with a constant speed of movement of subjects of labour, the apparatus of mathematical physics is used. Findings. The solution is given in an analytic form that specifies the state parameters of the production line for a given technology position as a function of time. Originality. The scientific novelty of the results is the improvement of PDE-models of production systems of a conveyor type. The method for calculating the parameters of conveyor production, consisting of two connecting conveyor lines with a constant speed of movement of subjects of labour is offered. The considered method for calculation of conveyor production can be extended in case of a system with an arbitrary number of connecting conveyor lines. Practical value. The practical significance lies in the fact that the proposed method for calculating the parameters of conveyor production can be used to design control systems for conveyor production with an arbitrary number of conveyor lines. An essential advantage of this method is that each conveyor line is described by a single partial differential equation, the solution to which is obtained analytically. Such a representation makes it possible to use solutions for predicting the state parameters of a production line.

Purpose. Development of algorithms for controlling the speed of the conveyor belt, based on the distributed model of the transport system, containing partial differential equations Methodology. To calculate the parameters of a conveyor line with a variable speed of material motion, an instrument of mathematical physics is used. Findings. Comparative analysis of conveyor transport system models is performed. Application of partial differential equations for simulating transport systems of conveyor type, which are complex dynamic distributed systems, is substantiated. A non-dimensional model of a conveyor system in instantaneous approximation with the use of partial-derivative equations is presented. A system of characteristic equations is recorded and a solution is developed which defines the value of material flow and material density at an arbitrary point of time for the given point of the transportation route. An expression is obtained which defines the value of material delay in the transport system depending on the velocity defect law for conveyor belt movement. Transition period time is determined during which the output material flow is defined by linear density of material disposition along the transportation route. Dependences for the material linear density and material flow for the steady state condition are defined. The performance criterion of control of flow parameters of the conveyor system is recorded and a solution of the problem of optimal control of conveyor belt speed providing the relay control mode with the minimum power consumption for material movement is found. An example of control algorithm development is given. Originality. PDE-models of transport systems of conveyor type and energy-saving algorithms for controlling such systems have been improved. Practical value. The proposed method for calculating the parameters of the conveyor line, which is a dynamic distributed system, can be used to design systems for optimal control of flow parameters of transport systems of conveyor type.

Розглянуто гідродинамічну модель виробничих систем із потоковим методом організації виробництва. Визначено основні макропараметри стану виробничої потокової лінії (ВПЛ) і взаємозв'язку між ними. Обгрунтовано вибір багатомоментного наближення для моделювання ВПЛ. Показано, що конвеєр конвеєрного типу це складна динамічна система з розподіленими параметрами. Сформульовано крайову задачу про поздовжні коливання конвеєрної стрічки під час руху матеріалу по маршруту транспортування. Передбачається, що ковзання матеріалу вздовж конвеєрної стрічки відсутня, а деформація, що виникає в конвеєрній стрічці є пропорційною доданій силі (модель пружних деформацій Гука). Показано суттєвий вплив нерівномірності розподілу матеріалу вздовж маршруту транспортування на швидкість поширення динамічних напружень у конвеєрній стрічці. У процесі побудови граничних і початкових умов використано рекомендації DIN 22101: 2002-08. Досліджено механізм виникнення поздовжніх коливань конвеєрної стрічки під час руху матеріалу по маршруту транспортування. Визначено основні параметри моделі, які є причиною виникнення динамічних напружень. Показано, що динамічні напруги формуються в результаті суперпозиції напружень у прямій і відбитої хвилі. Записано аналітичні вирази, що надають можливість розрахувати величину динамічних напружень у конвеєрній стрічці та визначено умови виникнення руйнувань конвеєрної стрічки. Розглянуто характерні фази початкового руху матеріалу по технологічному маршруту. Досліджено процес виникнення динамічних напружень за постійного та змінного прискорення конвеєрної стрічки. Наведено динаміку поширення напруг уздовж маршруту транспортування. Показано, що величина динамічних напружень може перевищувати гранично допустиме значення, що призводить до руйнування конвеєрної стрічки або конструктивних елементів. Зроблено оцінку тривалості перехідного періоду, яка потрібна для забезпечення безаварійного режиму функціонування транспортної у разі прискорення або гальмування конвеєрної стрічки. Використання безрозмірних параметрів надає можливість сформулювати критерії подібності транспортних систем конвеєрного типу.

Виконано аналіз двох класів моделей опису виробничих потокових ліній (ПЛ). Проаналізовано використання моделей даних класів для проектування високоефективних систем управління виробничих ПЛ, технологічний маршрут яких складається з великої кількості технологічних операцій (ТО). Розділення технологічного маршруту на велику кількість операцій викликане тенденцією розвитку сучасних виробничих ліній. Синхронізація продуктивності обладнання ПЛ забезпечується акумулюючим буфером. Як фундамент для побудови рівнянь кожного класу моделей використано формалізований опис виробничих ПЛ. Показано загальні риси та особливості використання кожного класу моделей при описі виробничих систем, а також умови їх застосування. Обгрунтовано вигляд рівнянь моделі системної динаміки та рівнянь PDE-моделі. При виведенні рівнянь використано припущення про детермінований темп обробки деталей і відсутність тимчасової затримки та зворотних зв'язків між параметрами ТО. Обговорено використання узагальнених ТО в моделі системної динаміки як спосіб скорочення кількості рівнянь моделі. Продемонстровано 2 граничних переходи від рівнянь PDE-моделі до рівнянь системної динаміки. Показано, що рівняння системної динаміки є окремим випадком рівнянь PDE-моделі, результатом агрегування параметрів виробничої лінії у межах ТО. Обгрунтовано метод побудови рівнянь рівня для моделі системної динаміки PDE-моделі. Для ПЛ із різною кількістю операцій продемонстровано розв'язок задачі про рух деталей по ПЛ. Виконано порівняльний аналіз розв'язку, отриманого з використанням рівнянь системної динаміки і PDE-моделі.

Розглянуто гідродинамічну Kelvin - Voigt модель (KVM) виробничих систем із потоковим методом організації виробництва. Визначено основні макропараметри стану виробничої лінії та взаємозв'язку між ними. Наведено аналіз основних характеристик моделей пружних елементів (ПЕ), які використані для аналізу виникнення динамічних напружень у рухомій конвеєрній стрічці (КС). Сформульовано крайову задачу для пружних поздовжніх коливань у КС із рухомим матеріалом. Передбачається, що деформація елемента стрічки конвеєра відповідає KVM і ковзання рухомого матеріалу по стрічці відсутній. При визначенні сил опору руху, діючих на одиничний елемент стрічки, використано рекомендації DIN 22101: 2002-08. Проведено аналіз KVM ПЕ та продемонстровано відмінні риси моделі. Надано обгрунтування вибору KVM ПЕ для опису процесу виникнення пружних поздовжніх коливань у КС. Оцінено залежність нерівномірного надходження потоку матеріалу та величини напружень у стрічці. Записано вираз для швидкості розповсюдження збурень уздовж рухається КС із матеріалом. Визначено причини прискорення та гальмування КС, пов'язані з нерівномірним надходженням матеріалу на вхід транспортної системи. Продемонстровано зв'язок між швидкістю руху КС і масою матеріалу вздовж секції конвеєра. Показано, що збільшення потужності електродвигуна при старті і прискоренні КС, а також зменшення потужності під час гальмування та зупинки КС є причиною виникнення в ній динамічних напружень. Проаналізовано характерні фази початкового руху КС із матеріалом. Досліджено процес виникнення динамічних напружень з постійним і змінним прискоренням конвеєрної стрічки для фази розгону і гальмування КС. Для аналізу використано модель конвеєрної лінії в безрозмірному вигляді. Отримано вираз для статичних і динамічних напружень у КС. Оцінено амплітуду коливань динамічних напружень і характерний час загасання коливань у КС. Продемонстровано квадратичну залежність швидкості загасання хвилі динамічних напружень зі збільшенням частоти коливання. Показано обернено пропорційна залежність характерного часу загасання виникаючих динамічних напружень від величини коефіцієнта в'язкості композиційного матеріалу КС.

Розглянуто метод побудови алгоритму стабілізації міжопераційних заділів виробничої лінії. Об'єктом дослідження була модель виробничої багатоопераційної потокової лінії. Мета роботи - розробка методу побудови оптимального алгоритму стабілізації потокових параметрів виробничої лінії, при якому забезпечується асимптотична стійкість стану потокових параметрів при заданій якості процесу ліквідації виниклих збурень. Запропоновано метод побудови алгоритму стабілізації рівня міжопераційних заділів багатоопераційної виробничої лінії. В основу побудови алгоритму стабілізації покладена двомоментна PDE-модель виробничої лінії, що дозволило представити виробничу лінію у вигляді складної динамічної розподіленої системи. Таке уявлення надало можливість визначити стабілізуюче управління у вигляді функції, яка залежить не тільки від часу, але і координати, що характеризує місце розташування технологічного обладнання уздовж виробничої лінії. Використання методу функцій Ляпунова дозволило синтезувати оптимальне стабілізуюче управління станом міжопераційних заділів на технологічних операціях виробничої лінії, яка забезпечує асимптотичну стійкість заданого незбуреного стану потокових параметрів виробничої лінії при найменших витратах технологічних ресурсів, що витрачаються на формування керуючого впливу. Вимога про найкращі якості перехідного процесу від збуреного стану до незбурених виражено інтегралом якості, який залежить як від величини виниклих збурень, так і від величини стабілізуючих управлінь, націлених на ліквідацію даних збурень. На основі розробленого методу побудови алгоритму стабілізації стану потокових параметрів виробничої лінії синтезований алгоритм стабілізації величини міжопераційних заділів на технологічних операціях виробничої лінії. Висновки: використання методу функцій Ляпунова при синтезі оптимального стабілізуючого управління потоковими параметрами виробничої лінії дозволяє забезпечити асимптотичне загасання виникаючих збурень потокових параметрів при найменших витратах технологічних ресурсів, що витрачаються на формування керуючого впливу. Показано, що в задачі стабілізації стану міжопераційних заділів стабілізуюче управління по величині пропорційно величині виникаючого обурення. Коефіцієнт пропорційності визначається через коефіцієнти інтеграла якості і функції Ляпунова. Перспективою подальших досліджень є розробка методу побудови алгоритму стабілізації продуктивності технологічних операцій виробничої лінії.

Purpose. For a conveyor belt, the material of which corresponds to the Maxwell-element model, to analyze the causes of the occurrence of longitudinal dynamic stresses and investigate the peculiarities of the propagation of dynamic stresses along the route of material transportation. Methodology. To calculate the value of static and dynamic stresses arising in the conveyor belt, the apparatus of mathematical physics was used. Findings. A wave equation is written that determines the propagation of longitudinal vibrations in a conveyor belt, the material of which corresponds to the Maxwell-element model. An expression is obtained for calculating the speed of propagation of elastic vibrations along the conveyor belt, the frequency of vibrations and their wavelength. The characteristic relaxation time of disturbances is determined. The method of successive approximation was used to solve the wave equation. The estimation of the characteristic time of acceleration of the conveyor belt, at which there is no destruction of the material of the conveyor belt, is given. Originality. PDE-models of conveyor-type transport systems are improved, which are used to design belt speed control systems under restrictions on speed control modes. It is shown that under the modes of acceleration or deceleration of the conveyor belt, the effects associated with the occurrence and propagation of dynamic stresses along the conveyor belt, due to the characteristics of the material corresponding to the Maxwell-element model, are insignificant. Practical value. The results obtained make it possible to determine the limitations on the modes of acceleration or deceleration of the conveyor belt, preventing its damage and increased wear. This opens up prospects for designing effective control systems for the parameters of a conveyor belt, unevenly loaded with material along the transport route.

Розглянуто проблему оптимального управління потоковими параметрами транспортної системи конвеєрного типу, що містить секції з реверсивними конвеєрами. Об'єкт дослідження - аналітична модель транспортного реверсивного конвеєра для синтезу алгоритму оптимального керування потоковими параметрами транспортного реверсивного конвеєра. Мета роботи - розробка методики синтезу алгоритму оптимального керування потоковими параметрами транспортного реверсивного конвеєра, що базується на аналітичній моделі конвеєрної секції, що містить транспортну затримку. Розроблено аналітичну модель реверсивного конвеєра для випадку постійної швидкості конвеєрної стрічки, що дозволяє визначити значення вихідних потоків з реверсивної секції при відомих значень потоків матеріалу, що надходять на вхід секції конвеєра. Для побудови моделі реверсивної секції конвеєра використано аналітичну модель секції конвеєра у приватних похідних, що містить транспортну затримку. При побудові моделі введено припущення про миттєве перемикання напрямку руху стрічки конвеєра, а також передбачається, що інтервал між перемиканнями напрямку швидкості руху стрічки перевищує значення транспортної затримки для секції конвеєра. Для синтезу алгоритму оптимального управління реверcивним конвеєром запроваджено критерій якості управління. Дана постановка задачі оптимального управління потоковими параметрами реверсивного конвеєра, заснована на принципі максимуму Понтрягіна. Записано функцію Гамільтона для керованої системи, яка враховує критерій якості керування реверсивним конвеєром. Продемонстровано методику синтезу алгоритму оптимального управління вихідним потоком матеріалу секції реверсивного конвеєра. Визначено умови перемикання напрямку швидкості руху стрічки конвеєра. Розроблена модель секції реверсивного конвеєра використана синтезу алгоритму оптимального управління вихідним потоком матеріалу секції реверсивного конвеєра. Висновки: розроблено методику синтезу алгоритмів оптимального керування потоковими параметрами транспортної системи з секціями, що містять реверсивні конвеєри. Побудова аналітичної моделі відкриває нові перспективи для проектування алгоритмів керування транспортним конвеєром, які можуть бути використані для зниження питомих енергетичних витрат на транспортування матеріалу на підприємствах гірничодобувної промисловості.

The features of the propagation of dynamic stresses in a conveyor belt, the material properties of which correspond to the Maxwell element model, are considered. Analytical expressions are presented for calculating the dynamic elastic modulus, the loss modulus, and the angle of mechanical loss depending on the frequency of longitudinal oscillations in the belt of an extended transport conveyor. To analyze the dynamic stress propagation process, dimensionless parameters are introduced that characterize the specific features of the viscoelastic process in a conveyor belt, the material properties of which correspond to the Maxwell element model. The transition to the dimensionless Maxwell element model is made and the analysis of the relationship between stress and deformation of a conveyor belt element for extremely large and small values of dimensionless parameters is made. The substantiation of the scope of the Maxwell element model is given. It is shown that at sufficiently high frequencies of longitudinal stress oscillations in a conveyor belt, at which the oscillation period is much less than the characteristic oscillation decay time, the relationship between stress and deformation of the conveyor belt element corresponds to Hooke's law. A qualitative analysis of the relaxation time was carried out for a conveyor belt material, the properties of which correspond to the Maxwell element model. The analysis of the propagation of dynamic stresses in the conveyor belt for the characteristic operating modes of the transport conveyor is carried out. The conveyor operating mode with a constant deformation rate of the belt element; the mode in which a constant load is suddenly applied to the belt element; the conveyor operating mode with an instantly applied load to the belt element were investigated. It was determined that in cases where the characteristic process time significantly exceeds the stress relaxation time in the conveyor belt or the longitudinal oscillation period is much less than the stress relaxation time in the conveyor belt, the Maxwell element model can be replaced with a sufficient degree of accuracy by the Hooke element model.