Розглянуто гладкі функції з невиродженими критичними точками на гладкій компактній орієнтованій поверхні з межею. Показано, що такі функції топологічно еквівалентні m-функціям. Для опису їх топологічної структури використовується оснащений граф Ріба. Охарактеризовано топологічну структуру всіх простих функцій з не більш ніж 5-ма критичними точками. Виведено формулу для обчислення роду поверхні, яка базується на оснащеному графі Ріба.