Гідродинаміку повністю іонізованої двокомпонентної електрон-іонної плазми досліджено у випадку, коли релаксація температури та швидкості компонент є близькою до завершення. Обговорено проблему врахування в кінетиці плазми особливостей кулонівської взаємодії. Дослідження базується на кінетичному рівнянні Ландау та методі Чемпена - Енскога, узагальненому на основі ідеї функціональної гіпотези Боголюбова. Одержано нелінійні гідродинамічні рівняння. Побудовано лінеаризовані гідродинамічні рівняння та досліджено гідродинамічні та кінетичні моди кінетичного рівняння Ландау у гідродинамічному наближенні. Вивчено вплив релаксаційних процесів на еволюцію системи. На базі кінетичного рівняння Власова - Ландау досліджено моди плазми в недисипативному гідродинамічному наближенні. Деякі з них описують релаксаційне згасання плазмових коливань, яке за малих хвильових векторів k -> 0 є набагато більш вагомим за згасання Ландау.

Релаксацію температур і швидкостей компонент квазірівноважної двокомпонентної повністю іонізованої просторово-однорідної плазми вивчено на основі узагальненого методу Чемпена - Енскога, застосованого до кінетичного рівняння Ландау. Узагальнення базується на ідеї функціональної гіпотези Боголюбова з метою врахувати кінетичні моди системи. Показано, що в наближенні малої різниці швидкостей і температур компонент системи релаксація дійсно існує (швидкості релаксації є додатними). Доведення базується на аргументах, які придатні для довільної двокомпонентної системи. Рівняння, які описують температурну та швидкісну кінетичну моди системи, досліджено у теорії збурень за квадратним коренем малого відношення мас електрона та іона. Рівняння будь-якого порядку в цій теорії збурень розв'язано за допомогою методу розвинення за поліномами Соніна. Одержано корекції до відомих результатів Ландау щодо функцій розподілу компонент плазми та швидкостей релаксації. Гідродинамічна теорія, яка базується на цих результатах, повинна враховувати порушення локальної рівноваги за наявності релаксаційних процесів.

Метод Греда узагальнено на базі ідеї функціональної гіпотези Боголюбова для станів наприкінці завершення релаксаційних процесів у системі. Для повністю іонізованої однорідної двокомпонентної електрон-іонної плазми за допомогою кінетичного рівняння Ландау досліджено проблему Греда (опис максвеллівської релаксації). Обчислено функцію розподілу компонент і часові рівняння для параметрів, які описують стан системи, знайдено корекції до відомих результатів в теорії збурень за малим відношенням мас електрона до іона.

Розглянуто інтегральне рівняння Вольтери першого роду, яке може бути застосовним до фільтрації та прогнозування випадкових фрактальних процесів, наприклад, у інформаційно-телекомунікаційних мережах та при керуванні складними технологічними процесами. Метою роботи - отримати точний аналітичний розв'язок інтегрального рівняння Вольтери першого роду. Ядром відповідного інтегрального рівняння є кореляційна функція фрактального випадкового процесу, структурна функція якого є степеневою. Інтегральне рівняння Вольтери першого роду розв'язано за допомогою стандартного методу перетворення Лапласа. Зворотне перетворення Лапласа приводить до контурного інтегралу від функції комплексної змінної. Цей інтеграл обчислено як суму частини, що містить лишок, та інтегралів вздовж берегів розрізу. Відповідні інтеграли пораховано за допомогою відомих розвинень спеціальних функцій. Отримано точний аналітичний розв'язок інтегрального рівняння Вольтери, ядром якого є кореляційна функція фрактального випадкового процесу. Робота базується на моделі, в якій структурна функція відповідного фрактального процесу є степеневою функцією. Показано, що та частина розв'язку, яка не містить дельта-функції, є збіжною в будь-якій точці, якщо показник Херста є більшим за 0,5, тобто якщо процес має фрактальні властивості. Показано, що отриманий розв'язок є дійсною функцією. Отриманий розв'язок перевірено чисельно; також показано, що наш розв'язок дає правильну асимптотичну поведінку. Xоча отриманий розв'язок містить експоненційно зростаючу функцію часу, при великих часах інтеграл від отриманого розв'язку асимптотично веде себе як степенева функція. Висновки: важливо підкреслити, що нами отримано точний, а не наближений розв'язок інтегрального рівняння Вольтери, яке досліджується. Отриманий розв'язок може бути застосовним до фільтрації та прогнозування даних випадкового фрактального процесу. Як відомо, фрактальні процеси мають місце у величезній кількості різноманітних систем, тому результати цієї статті можуть мати широку область застосувань.

Розглянуто фільтр Колмогорова-Вінера для випадкових фрактальних процесів, які, наприклад, можуть мати місце в сучасних інформаційно-телекомунікційних системах та у керуванні складними технологічними процесами. Вагова функція фільтру, що розглядається, може бути застосована до прогнозу даних у відповідних системах. Як відомо, у неперервному випадку рівняння на вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера є рівнянням Фредгольма першого роду. Мета роботи - отримати вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера як наближений розв'язок відповідного інтегрального рівняння. Метод. Використано метод обірваного розвинення за ортогональними поліномами для наближеного розв'язання інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Використано систему ортонормованих поліномів. Отримано наближені результати для вагової функції фільтру Колмогорова-Вінера для фрактальних процесів з степеневою структурною функцією. Вагову функцію знайдено як наближений розв'язок інтегрального рівняння Фредгольма першого роду, ядром якого є кореляційна функція відповідного випадкового фрактального процесу. Аналітичні результати отримано для наближень одного, двох, трьох, чотирьох та п'яти поліномів. Для різних значень параметрів зроблене чисельне порівняння лівої та правої частин інтегрального рівняння для отриманих вагових функцій. Відповідне чисельне дослідження зроблене у математичному пакеті Wolfram Mathematica до наближення 18 поліномів включно. Обговорено застосовність отриманих результатів. Висновки: наближено отримано вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера для фрактальних процесів у вигляді обірваного ряду за ортогональними поліномами. Обговорено застосовність отриманих вагових функцій. Отримані результати можуть бути застосовними до прогнозування данних для багатьох різних систем, де мають місце фрактальні процеси.

Розглянуто фільтр Колмогорова-Вінера для прогнозування телекомунікаційного трафіку в рамках моделі неперервного фрактального гауссового шуму. Мета роботи - отримати вагову функцію фільтра як наближений розв'язок відповідного інтегрального рівняння Вінера-Хопфа. Мета роботи - показати збіжність запропонованого методу розв'язання даного рівняння. Інтегральне рівняння Вінера- Хопфа на вагову функцію фільтра є інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду. Використано метод обірваного розвинення за ортогональними поліномами з метою отримати наближений розв'язок відповідного рівняння. Використано поліноми Чебишева першого роду. Отримано наближені розв'язки для вагової функції фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного фрактального гауссового шуму. Розв'язки отримано у наближеннях різної кількості поліномів, результати отримано до наближення дев'ятнадцяти поліномів включно. Показано, що для задачі, що розглядається, запропонований метод є збіжним, тобто точність співпадіння лівої та правої частин інтегрального рівняння зростає зі зростом кількості поліномів. Така збіжність має місце, бо кореляційна функція фрактального гауссового шуму, яка є ядром відповідного інтегрального рівняння, є позитивно визначеною функцією. Висновки: вагова функція фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного фрактального гауссового шуму отримана як наближений розв'язок відповідного інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. Запропонований метод обірваного розвинення за ортогональними поліномами є збіжним для задачі, що розглядається. Як відомо, однією з найпростіших моделей телекомунікаційного трафіку є модель неперервного фрактального гауссового шуму, тож результати статті можуть бути корисними для прогнозування телекомунікаційного трафіку.

Розглянуто вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного стаціонарного випадкового процесу зі степеневою структурною функцією. Мета роботи - розробити алгоритм отримання наближеного розв'язку для вагової функції, який не містить числового обчислення інтегралів. Вагова функція, що розглядається, підпорядковується інтегральному рівнянню Вінера-Хопфа. Пошук точного аналітичного розв'язку відповідного інтегрального рівняння стикається з труднощами, тож шукається наближений розв'язок для вагової функції в рамках методу Галеркіна, який базується на основі обірваного розвинення в ряд за функціями Уолша. Розроблено відповідний алгоритм отримання вагової функції. Усі інтеграли обчислено аналітично, а не чисельно. Більше того, показано, що точність отриманих наближень, що базуються на функціях Уолша, є значно кращою за точність поліноміальних розв'язків, отриманих у попередніх роботах авторів. Розв'язки, що базуються на функціях Уолша, є застосовними у ширшому діапазоні параметрів, ніж поліноміальні розв'язки. Висновки: розроблено алгоритм отримання вагової функції фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного стаціонарного випадкового процесу зі степеневою структурною функцією. Основою алгоритму є розвинення за функціями Уолша. На відміну від поліноміальних розв'язків, досліджених у минулих статтях, розроблений алгоритм має наступні переваги. По-перше, усі інтеграли обчислено аналітично, і немає потреби в числовому розрахунку інтегралів. По-друге, проблема добутку дуже малих та дуже великих чисел відсутня в рамках запропонованого алгоритму. На наш погляд, це є причиною того, що точність розв'язків, що базуються на функціях Уолша, є кращою за точність поліноміальних розв'язків для багатьох наближень, і це є причиною того, що розв'язки на основі функцій Уолша є застосовними у ширшому діапазоні параметрів, ніж поліноміальні розв'язки. Результати роботи можуть бути застосовані до, наприклад, прогнозування на практиці трафіку в телекомунікаційних системах з пакетною передачею даних.

Досліджено вагову функцію фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного стаціонарного телекомунікаційного трафіку у GFSD (Gaussian fractional sum-difference) моделі. Мета роботи - отримати наближений розв'язок для відповідної вагової функції та проілюструвати збіжність методу обірваних розвинень за поліномами, що використано в цій статті. Метод обірваних розвинень за поліномами використано для отримання наближеного розв'язку для досліджуваної вагової функції фільтру Колмогорова-Вінера. В роботі використано відповідний метод на основі поліномів Чебишова першого роду які є ортогональними на часовому відрізку на якому задані вхідні дані фільтра. Очікується, що результати, які базуватимуться на інших поліноміальних системах будуть аналогічними до результатів, отриманих в даній статті. Вагову функцію досліджено у наближеннях до вісімнадцяти поліномів включно. Показано, що наближення досить великої кількості поліномів призводять до хорошого співпадіння лівої та правої частин інтегрального рівняння Вінера-Хопфа. Якість співпадіння проілюстрована обчисленням відповідних середніх абсолютних помилок нев'язки. Висновки: розглянуто теоретичну побудову фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування неперервного стаціонарного телекомунікаційного трафіку у GFSD моделі. Кореляційна функція трафіку в рамках GFSD моделі є позитивно визначеною, що гарантує збіжність методу обірваних розвинень за поліномами. Відповідна вагова функція отримана у наближеннях до вісімнідцяти поліномів включно. Збіжність методу проілюстрована обчисленням середніх абсолютних помилок нев'язки лівої та правої частин інтегрального рівняння Вінера-Хопфа, що розглядається. Результати роботи можуть бути застосовні до практичного прогнозування трафіку в телекомунікаційних мережах з пакетною передачею даних.

Деякі з нещодавніх статей авторів присвячені фільтру Колмогорова-Вінера для прогнозування телекомунікаційного трафіку в деяких стаціонарних моделях, таких як модель фрактального гаусівського шуму, модель степеневої структурної функції та GFSD (Gaussian fractional sum-difference) модель. Нещодавно так звана модель узагальненого фрактального гаусівського шуму була запропонована для опису стаціонарного телекомунікаційного трафіку в деяких випадках. Тож в цій статті досліджено теоретичні основи неперервного фільтра Колмогорова-Вінера, застосовного для прогнозування узагальненого фрактального гаусівського шуму. Мета роботи - отримати вагову функцію фільтра як наближений розв'язок відповідного інтегрального рівняння Вінера-Хопфа з ядром, що дорівнює кореляційній функції узагальненого фрактального гаусівського шуму. Метод обірваних розвинень за функціями Волша запропоновано для отримання відповідного розв'язку. Таке розвинення є частинним випадком методу Галеркіна, в рамках якого невідома функція шукається у вигляді обірваного розвинення за ортогональними функціями. Інтегральні дужки та результати для середньої абсолютної відсоткової помилки відхилу лівої частини інтегрального рівняння Вінера-Хопфа від правої обчислені чисельно на основі пакету Wolfram Mathematica. Дослідження зроблене для наближень включно до наближення шістдесяти чотирьох функцій Волша. Досліджено різні параметри моделі. Показано, що для різних параметрів моделі запропонований метод є збіжним та призводить до малих середніх абсолютних відсоткових помилок для наближень доволі великої кількості функцій Волша. Висновки: роботу присвячено теоретичній побудові вагової функції неперервного фільтра Колмогорова-Вінера для прогнозування стаціонарного випадкового процесу, що описується моделлю узагальненого фрактального гаусівського шуму. Як відомо, така модель може добре описувати певні експериментальні дані в системах з пакетною передачею даних. Відповідна вагова функція шукається на основі обірваного розвинення за функціями Волша. Відповідні помилки відхилу є малими та метод є збіжним.