Під час проектування відцентрових розсіювальних апаратів мінеральних добрив досить важливо знайти параметри і режими роботи цих машин, які б давали найкращий ефект при розсіюванні добрив. Важливу роль в цьому відіграють лопатки, які забезпечують потрібну траєкторію і швидкість частинки у відносному русі. На сьогоднішній момент достатньо вивчена в теоретичному плані робота розсіювальних апаратів із прямолінійними лопатками. Дослідження впливу форми криволінійної лопатки на кінематичні параметри руху частинки може бути корисним при проектуванні відповідних робочих органів. Такі лопатки (як прямолінійні, так і криволінійні) кріпляться ортогонально до диска і забезпечують рух частинки по ньому в горизонтальній площині. В момент сходу частинки із диска вектор її абсолютної швидкості паралельний площині диска. Однак розсіювання частинок відбувається ефективніше, коли вони при сході із робочого органу летять вгору під певним кутом до площини диска. Таке розсіювання забезпечують відцентрові конусні розсіювальні органи, у яких прямолінійні лопатки закріплені під певним кутом до площини диска. З теоретичної точки зору видається цікавим дослідження руху частинки по криволінійній лопатці, коли кут підйому частинки зростає від нуля до заданої величини в момент сходження із лопатки. Виходячи з цього, в статті виведено узагальнені диференціальні рівняння руху частинки у відцентрових апаратах вздовж криволінійної лопатки із змінним кутом підйому. Зроблено порівняльний аналіз кінематичних параметрів руху для прямолінійних і криволінійних лопаток, з якого слідує, що заміна прямолінійних лопаток на криволінійні дозволяє досягти однакового ефекту (абсолютної швидкості частинки в момент сходження із лопатки). При необмеженій довжині лопатки у вигляді дуги кола частинка здійснює коливальний рух по ній вгору-вниз із затуханням аж до повної зупинки за наявності тертя і тривають нескінченно за відсутності тертя.

Теорія складного руху матеріальної точки має чітку завершену форму і наведена в усіх підручниках із теоретичної механіки. Вона грунтується на тому, що рух точки вивчається одночасно по відношенню до двох систем координат. Одна із них (основна) приймається за нерухому, а друга здійснює по відношенню до нерухомої відносний рух по заданому закону. В свою чергу у рухомій системі координат здійснює відносний рух матеріальна точка. Сума цих рухів (відносного і переносного) складає абсолютний рух точки по відношенню до основної системи координат. Як переносний, так і відносний рухи задаються залежностями у функції часу. Відомий також натуральний спосіб задання руху матеріальної точки, при якому швидкість і прискорення розглядається в проекціях на орти супровідного тригранника траєкторії (тригранника Френе). Однак в наявній літературі нам не вдалося знайти застосування тригранника Френе у якості рухомої системи координат, у якій здійснює відносний рух матеріальна точка. Розробці теорії складного руху матеріальної точки у горизонтальній площині із застосуванням тригранника Френе присвячена дана стаття. Показано два способи знаходження закону відносного руху частинки вздовж прямолінійної лопатки на відцентровому апараті. Задачі розв'язуються з допомогою застосування двох координатних систем - рухомої і нерухомої. При цьому за рухому систему координат можна брати супровідний тригранник траєкторії переносного руху. В цьому випадку дуже просто знаходиться вектор абсолютного прискорення в проекціях на орти тригранника із застосуванням формул Френе. Диференціальні рівняння руху теж складаються в проекціях на орти цього тригранника на відміну від традиційних підходів. Двома способами розв'язано задачу на знаходження кінематичних параметрів відносного руху частинки вздовж прямолінійних радіально закріплених лопаток відцентрового апарата, яким є горизонтальний диск, що обертається навколо вертикальної осі.

Розглянуто новий підхід до знаходження кінематичних параметрів складного руху точки. Зазначено, що традиційно для цього використовується дві системи координат: рухома і нерухома. Рухома по відношенню до нерухомої системи здійснює переносний рух, а точка, що рухається у рухомій системі, здійснює по відношенню до неї відносний рух. Сума двох рухів дає абсолютний рух по відношенню до нерухомої системи координат. Переносний і відносний рухи задаються, як правило, залежностями у функціях часу.Зауважено, що в роботі в ролі рухомої системи координат розглянуто супровідний тригранник Френе напрямної кривої. Незалежним параметром у цьому випадку є довжина дуги напрямної кривої. Переносний рух тригранника стає визначеним, оскільки його положення на кривій залежить від поточного значення дугової координати, кривини та скруту напрямної кривої, яка є переносною траєкторією руху тригранника. Наголошено, що такий підхід надає можливість застосувати формули Френе. Для цього складається векторне рівняння абсолютного руху точки, яке послідовно диференціюється із застосуванням формул Френе для отримання абсолютних швидкості та прискорення. Розглянуто окремий випадок, коли точка здійснює відносний рух в стичній площині тригранника. В результаті отримано вирази швидкості та прискорення в проєкціях на орти тригранника. Зазначено що до складу цих виразів входять рівняння відносного руху точки в стичній площині та їх похідні, швидкість руху тригранника по напрямній кривій, кривина та скрут кривої та їх похідні. Розглянуто приклади застосування отриманих результатів в прямій і оберненій задачах складного руху точки. Акцентовано, що пряма задача знайшла своє застосування при кінематичному аналізі точок веденої ланки плоских механізмів, обернена – при знаходженні розгону частин мінеральних добрив вздовж різних лопаток відцентрових розсіювальних органів.