Вивчено властивості розподілів сум випадкових рядів спеціального виду - знакозмінних рядів Люрота. Досліджено лебегівську структуру розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), спектральну структуру сингулярного розподілу (належність розподілу до канторівського, салемівського чи квазіканторівського типу), тополого-метричні та фрактальні властивості спектра (мінімальної замкненої множини, на якій зосереджений розподіл) випадкових величин, які є: сумою знакозмінного ряду Люрота, натуральні елементи якого є випадковими величинами з наперед заданими дискретними розподілами (вивчено випадки незалежності та марковської залежності); випадковими неповними сумами заданих знакозмінних рядів Люрота, коефіцієнти яких є незалежними випадковими величинами або випадковими величинами, які утворюють ланцюг Маркова. Для випадкової неповної суми заданого ряду з незалежними коефіцієнтами знайдено оцінку модуля характеристичної функції та досліджено його поведінку на нескінченності.

Досліджено лебегівську структуру розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярно неперервної компонент), спектральну структуру сингулярного розподілу (належність розподілу до канторівського, салемівського чи квазіканторівського типу), тополого-метричні та фрактальні властивості спектра (мінімальної замкненої множини, на якій зосереджений розподіл) випадкових величин, які є: сумою знакозмінного ряду Люрота, натуральні елементи якого є випадковими величинами з наперед заданими дискретними розподілами (вивчено випадки незалежності та марковської залежності); випадковими неповними сумами заданих знакозмінних рядів Люрота, коефіцієнти яких є незалежними випадковими величинами або випадковими величинами, які утворюють ланцюг Маркова. Для випадкової неповної суми заданого ряду з незалежними коефіцієнтами знайдено оцінку модуля характеристичної функції та досліджено його поведінку на нескінченності.

Розглянуто встановлення зв'язків між поняттями "неперервності" та "ніде не диференційовності", історія формування самого поняття "неперервної ніде не диференційовної функції", перші спроби побудови функцій даного типу. Проаналізовано 3 основні підходи до означення "неперервних ніде не диференційовних функцій": перший підхід полягає в узагальненні функції Вейєрштрасса; другий підхід є геометричним і базується на системі ітерованих функцій; третій підхід полягає у встановленні певного зв'язку між цифрами аргументу і цифрами відповідних значень, записаних в іншій системі числення. Розглянуто властивості неперервних дійсних функцій дійсної змінної зі складною локальною поведінкою засобами фрактального аналізу та фрактальної геометрії, зокрема надано огляд функції Ва-дер-Вардена і дослідження властивостей даної функції. Вказано на актуальність дослідження та практичність застосування "неперервних ніде не дифернційовних функцій" у різних математичних моделях.

Досліджено та проаналізовано компетентнісно орієнтовані завдання (КОЗ) у шкільних підручниках з математики на прикладі теми "Трикутники", адже найактуальнішою проблемою математичної освіти основної школи є відбір її змісту. Обгрунтовано актуальність компетентнісного підходу до навчання математики в школі, визначено основні теоретичні відомості з даної теми: компетентність, компетенція, компетентнісний підхід, математична компетентість. Розглянуто поняття КОЗ і наведено конкретні приклади КОЗ з даної теми відповідно до компонентів математичної компетентності. Формування математичної компетентності в учнів основної школи на уроках геометрії передбачає наступні компоненти: процедурна, логічна, технологічна, дослідницька та методологічна. Відповідно до компонентів математичної компетентності, проаналізовано завдання з теми "Трикутники" у підручниках сьомих класі таких авторів як Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.; Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г.; Бурда М. І., Тарасенкова Н. А. та наведено порівняльні таблиці кількості завдань, які спрямовані на розвиток тієї чи іншої компоненти математичної компетентності. За результатами дослідження можна зробити висновок, що найбільшу частку завдань становлять завдання спрямовані на формування процедурної компетентності, найменшу - методологічної компетентності. А от завдань спрямованих на формування технологічної компетентності не представлено в жодному з підручників. Також проаналізовано підручники авторів Мерзляк А. Г. Полонський В. Б., Якір М. С. з п'ятого по дев'ятий класи загальноосвітніх навчальних закладів і закладів із поглибленим вивченням математики на визначення компетентнісної орієнтації змісту підручників з теми "Трикутники". Результати дослідження наведено у порівняльних таблицях, на основі яких зроблено певні висновки.

Проаналізовано тенденцію впровадження компетентнісного підходу у загальну середню та вищу освіту, визначено перспективи та шляхи розвитку сучасної освіти. Обгрунтовано необхідність навчання компетентних педагогів у вищих навчальних педагогічних закладах і проаналізовано на прикладах, яким чином можна допомогти учню формувати математичні компетентності. Виокремлено умови виникнення математичних компетентностей на уроках математики, а саме: усвідомлення мети, завдання та змісту текстових задач, формування ставлення до завдань такого типу як до засобу моделювання та дослідження природних процесів і явищ, встановлення міжпредметних зв'язків, що сприяє практичній реалізації математичних знань у житті, нестандартних ситуаціях; створення умов для розвитку вмінь навчатися самостійно, шукати додаткову інформацію, самовдосконалюватися. При розв'язуванні текстових задач учень використовує знання, одержані на уроках математики, адаптуючи їх до потреб реального життя, таким чином відбувається підготовка до майбутньої практичної діяльності, до життєвих задач і проблем. Обгрунтовано основні теоретичні відомості з даної теми: компетентність, компетенція, компетентнісний підхід, математична компетентість. Розглянуто поняття компетентнісно-орієнтовані завдання (КОЗ) і наведено конкретні приклади КОЗ з даної теми відповідно до компонентів математичної компетентності. Формування математичної компетентності в учнів основної школи на уроках математики передбачає наступні компоненти: процедурна, логічна, технологічна, дослідницька та методологічна. Кожний вид компетентності складається з трьох таких компонентів: мотиваційний, змістовий, дійовий. Сутність компетентностей проявляється у взаємодії з цінностями особистості, глибокою зацікавленістю у такому виді діяльності.

В останні роки зростає інтерес математиків до об'єктів з нетривіальними метричними і топологічними властивостями. Одним із ефективних апаратів задання і дослідження таких об'єктів є використання систем зображення дійсних чисел. Також дійсне число є фундаментальним поняттям теорії чисел, неперервної математики та теорії ймовірностей. Сьогодні у математиці та її застосуваннях широко використовуються різні системи представлення та зображення дійсних чисел. Деякі з них мають скінченний алфавіт, а деякі - нескінченний. Але у більшості випадків дійсне число моделюється з числа натурального. Класичним підходом до зображення дробової частини дійсного числа є представлення числа у формі суми ряду з чисел, обернених до натуральних. Природньо виникає необхідність систематизувати, чітко виділити чи розробити рекурсивні алгоритми розкладів дійсного числа в ряди спеціальних видів. Проведено системний аналіз наукових джерел щодо представлення чисел деякими рядами спеціальних видів для визначення найбільш важливих напрямків. При дослідженні використовувались методи та засоби метричної теорії чисел, математичного аналізу та математичної логіки. У результаті дослідження було систематизовано підхід до зображення чисел деякими рядами, чітко виділено рекурсивні кроки скінченного чи нескінченного алгоритму переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення чисел s-адичними рядами, рядом Енгеля, знакододатним та знакозмінним рядами Люрота, рядами Остроградського 1-го та 2-го видів. Дію кожного з алгоритмів було застосовано до одного і того ж самого раціонального числа з проміжку (0; 1) і виявлено, що одне і те ж саме число може мати в різних системах скінченне або нескінченне періодичне зображення. Висновки: враховуючи самоподібну структуру деяких збіжних знакододатних чи знакозмінних рядів, вдається отримати чіткі рекурсивні кроки переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення за допомогою рядів.

Описано результати дослідження рівня знань майбутніх учителів фізики при використанні цифрових лабораторій. За результатами проведеного аналізу підтверджено, що сьогодні поширюється велика кількість цифрових лабораторій, які дозволяють підтримувати навчання різних предметів, у тому числі фізики. Водночас опитування вчителів підтверджують недостатню їхню обізнаність в галузі використання цифрових фізичних лабораторій. Тому у професійній підготовці майбутніх учителів фізики використовуються цифрові лабораторії, які певним чином впливають на рівень навчальних досягнень студентів. Мета статті - дослідити рівень знань майбутніх учителів фізики при використанні цифрових лабораторій. Аналіз і систематизація літератури, праць вітчизняних і закордонних авторів, методичних матеріалів, за якими визначено поняттєво-категоріальний апарат щодо дослідження рівня знань майбутніх учителів фізики при використанні цифрових лабораторій; ретроспективний та еволюційний аналіз цифрових лабораторій з фізики з метою уточнення особливостей цифрових лабораторій; статистичні: якісний і кількісний аналіз результатів на основі методів математичної статистики. Рівень розуміння студентами явищ, які вивчаються під час виконання лабораторних робіт, підвищився після використання цифрових лабораторій. Висновки: використання сучасних цифрових лабораторій виступає ефективним способом активізації дослідницької діяльності майбутніх вчителів фізики. Наочні демонстрації з основних розділів фізики (від механіки до оптики) з використанням сучасних інформаційних технологій в подальшому сприяють розумінню принципів роботи з даними різних форматів. Використання цифрових лабораторій особливо яскраво підкреслює роль дослідництва в науковій роботі, оскільки вимагає від виконавця не тільки опанування інструментарію цифрової лабораторії, а і вміння його використати при розв'язуванні прикладних задач. В цьому сенсі опанування цифрових лабораторій відіграє позитивну роль в становленні майбутнього вчителя і науковця. Перспективним напрямом досліджень вбачаємо розробку методичної підтримки шкільних лабораторних робіт з фізики на основі FourierEdu, а під час підготовки майбутнього вчителя фізики акцентувати увагу не лише на традиційних для української школи лабораторних приладах, а на інших, більш сучасних, які активно поширюються у світі.

У сучасному світі роботодавці не в останню чергу звертають увагу на якості майбутнього - soft skills ("Система 4К" - Колаборація, Комунікація, Креативність, Критичне мислення), які повинен мати майбутній конкурентноспроможний фахівець, особливо вчитель, оскільки це професія, у якій soft skills і hard skills відіграють рівнозначну роль. Проведено системний аналіз наукової, навчальної та методичної літератури; порівняння та синтез теоретичних положень; узагальнення власного педагогічного досвіду. Результати дослідження висвітлюють можливі шляхи вирішення проблеми розвитку soft skills майбутніх учителів математики на прикладі вивчення теми "Діофантові рівняння" в курсі "Олімпіадна математика" освітньої програми "Середня освіта (Математика. Інформатика)" другого (магістерського) рівня вищої освіти Сумського державного педагогічного університету імені А. С. Макаренка. Не претендуючи на повноту, виділено 10 найбільш поширених методів розв'язування діофантових рівнянь, кожен з яких проілюстровано відповідними прикладами з детальними поясненнями. Зроблено висновки, що в ході вивчення теми розвиваються такі soft skills, як креативність (вміння застосовувати евристичні прийоми; уміння використовувати набуті знання в нестандартних ситуаціях; здатність генерувати ідеї розв'язання); логічне мислення; критичне мислення (визначення типу діофантового рівняння та раціональний вибір того чи іншого методу його розв'язування, уміння "побачити родзинку", що надає ключ до розв'язку; здатність ставити конструктивні запитання в ході колективного розв'язування рівнянь на заняттях, аналізувати, аргументувати та оцінювати ідеї та розв'язання); комунікація (вміння відстоювати свою точку зору, аргументувати, чому обрано конкретний метод, чому інші методи не підходять до розв'язування заданого типу діофантового рівняння); навички тайм-менеджменту при встановленні дедлайнів виконання домашніх, індивідуальних завдань тощо, вміння при цьому раціонально розподіляти свій час; вміння вчитися, оскільки більшість часу освітньої компоненти відводиться на самостійне вивчення.