Розглянуто системи матричних рівнянь. Розроблено ефективні алгоритми зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь довільного порядку, заданих над множиною некомутуючих і перестановочних матриць, до задач на власні значення. Запропоновано та досліджено конструктивний метод розв'язування систем алгебричних рівнянь, заданих над полем комплексних чисел. Розроблений алгоритм є модифікацією методу матричної лінеаризації та дозволяє одержувати кортежі розв'язків систем на ЕОМ. Проведено оцінювання складності методу лінеаризації розв'язування систем алгебричних рівнянь, заданих над полем комплексних чисел, а також запропонованих методів зведення систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь до задач на власні значення. Виконано зворотній аналіз похибок заокруглення для побудованих алгоритмів.

У ході розробки обчислювальних методів матричної лінеаризації розв'язування систем поліноміально-нелінійних матричних рівнянь виникла необхідність у знаходженні власних значень, що задані над множиною некомутуючих матриць і матриць перестановки. Розглянуто цей новий клас задач на власні значення, здійснено постановку задачі, введено означення системи задач на власні значення. Запропоновано й обгрунтовано ітераційний метод знаходження одного з розв'язків системи задач на власні значення. Цей метод є узагальнення класичного степеневого методу відшукання "старшої" пари матриці на випадок матриці з блочними елементами. Доведено збіжність методу. Проведено числові експерименти, які підтверджують достовірність одержаних результатів.

Системи нелінійних алгебричних рівнянь мають широке практичне застосування. Зазвичай, такі системи розв'язують за допомогою ітераційних методів, які грунтуються на розкладі нелінійного функціоналу в ряд Тейлора в околі розв'язку. Однак ці методи потребують досить точного задання початкового наближення, а також практично неможливо перевірити виконання умов збіжності заздалегідь. Запропоновано новий перспективний метод розв'язування систем поліноміальних рівнянь другого степеня з багатьма невідомими. Одержано рекурентні співвідношення для знаходження наближених розв'язків поліноміальних рівнянь над полем дійсних чисел. Досліджено збіжність операторних ланцюгових дробів, що використовуються в обчислювальній схемі, та наведено деякі їх властивості, проведено числові експерименти, що підтверджують ефективність методу.

Запропоновано й обгрунтовано ітераційний метод знаходження одного з розв'язків системи задач на власні значення. Означено деякі терміни й узагальнено об'єкти, які розглядають. Проведено числові експерименти.

Запропоновано модифікацію методу матричної лінеаризації, призначену для обчислення кортежів розв'язків систем поліноміально-нелінійних рівнянь над полем комлексних чисел. Проаналізовано стійкість алгоритму та досліджено ефективність методу.

Запропоновано метод розв'язування алгебричного рівняння Ріккаті. Отримано рекурентні співвідношення для знаходження наближених розв'язків цього матричного рівняння. Досліджено збіжність матричних ланцюгових дробів, які використовуються в обчислювальній схемі; проведено числові експерименти, які підтверджують ефективність запропонованого методу.

Матричні рівняння та системи матричних рівнянь широко використовуються у задачах оптимізації систем управління. Однак методи їх розв'язування розроблені лиш для найбільш популярних матричних рівнянь - рівнянь Ріккаті та Ляпунова, а універсального підходу до розв'язування задач такого класу не існує. У даній роботі узагальнено розглянутий раніше метод розв'язування систем алгебричних рівнянь над полем дійсних чисел [1] і запропоновано схему для систем поліноміальних матричних рівнянь другого степеня із багатьма невідомими. Також наведена рекурентна формула розвинення розв'язку у ланцюговий матричний дріб. Досліджена збіжність запропонованого методу. Наведені результати чисельних експериментів, що підтверджують справедливість теоретичних викладок та ефективність запропонованої схеми.