Побудовано простір узагальнених функцій на кубі дійсного нескінченновимірного гільбертового простору. Визначено операції множення узагальненої функції на основну та диференціювання узагальненої функції.

Визначено необхідні та достатні умови існування апроксимації неперервних функцій аналітичними на дійсних рівномірно опуклих банахових просторах у термінах просторів.

Одержано критерій апроксимації неперервних функцій аналітичними на сепарабельних дійсних рівномірно опуклих банахових просторах із субсиметричним базисом. Досліджено слабкополіномінальну топологію на дійсних банахових просторах, встановлено нові властивості відокремлювальних поліномів і рівномірно аналітичних функцій. Введено *-поліноми та *-аналітичні функції та розглянуто основні їх властивості. Доведено теореми про апроксимацію неперервних функцій *-аналітичними функціями на сепарабельних комплексних банахових просторах і просторах Фреше. Досліджено гільбертові простори (типу Харді) аналітичних і *-аналітичних функцій на одиночному полідиску гільбертового простору. Застосовано *-поліноми для побудови та дослідження комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі.

Розглянуто апроксимацію аналітичними та *-аналітичними функціями неперервних функцій (НПФ) на зліченно нормованих просторах Фреше. Знайдено критерій існування продовження НПФ з усюди щільного підпростору топологічного простору на весь простір.

Розглянуто властивості відокремлювальних поліномів та рівномірно аналітичних відокремлювальних функцій. Доведено збереження відокремлювальних поліномів з додатно визначеними компонентами за поліноміальних автоморфізмів. Показано, що композиція рівномірно аналітичної і відокремлювальної функції з лінійним відображенням, яке не зменшує норми, є рівномірно аналітичною і відокремлювальною функцією.