Висвітлено основи лінійної алгебри, особливості їх геометричного застосування. Розглянуто лінійні простори та відображення, білінійні квадратичні форми, евклідові й унітарні простори. Надано відомості про афінні та проектні простори, запропоновано класифікацію кривих і поверхонь другого порядку. Увагу приділено теорії модулів, зокрема, їх гомоморфізмам, поліномам від лінійного оператора, модулям над евклідовими кільцями. Розкрито зміст понять результанта, похідних поліномів, дуальних підпросторів.

Освещены основы линейной алгебры, особенности их геометрического применения. Рассмотрены линейные пространства и отображения, билинейные квадратические формы, евклидовые и унитарные пространства. Даны сведения об аффинных и проектных пространствах, предложена классификация кривых и поверхностей второго порядка. Внимание уделено теории модулей, в частности, их гомоморфизмам, полиномам от линейного оператора, модулям над эвклидовыми кольцами. Раскрыто содержание понятий результанта, производных полиномов, дуальных подпространств.

Доведено, що комутативне кільце Безу є ермітовим тоді і тільки тоді, коли воно є кільцем Безу стабільного рангу 2. Показано, що некомутативне кільце Безу стабільного рангу 1 є ермітовим кільцем. Як наслідок, одержано, що некомутативне напівлокальне кільце Безу є ермітовим кільцем. Показано, що область Безу стабільного рангу 1, група одиниць якої двоелементна, є кільцем елементарних дільників тоді і тільки тоді, коли вона є дуо-областю.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.51

Рубрики:

Ідеали

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто узагальнення дистрибутивних областей - області Безу, максимально неголовні праві ідеали в яких є двобічними. Побудовано факторіальний аналог радикала Джекобсона.

Введено поняття відносно адекватного елемента комутативного кільця, яке не обов'язково є областю. Досліджено властивості таких елементів і на цій підставі запропоновано характеризацію абсолютно адекватних елементів. Доведено, що адекватне кільце Безу має стабільний ранг, не вищий від числа 2. Як наслідок одержано, що адекватне кільце Безу є кільцем елементарних дільників.

  Скачати повний текст

Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она 2-простая. Доказано, что над 2-простой областью Орэ стабильного ранга 1 произвольная матрица, не являющаяся делителем нуля, эквивалентна канонической диагональной матрице.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.23

Рубрики:

Лінійні перетворення та матриці

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Показано, що адекватне кільце є акуратне і комутативна область Безу, в якій нетривіальні скінченні гомоморфні образи є всюди адекватні кільця, є адекватна. Крім того, доведено, що комутативна область Безу з нетеровим спектром є адекватна тоді і тільки тоді, коли довільний ненульовий простий ідеал області міститься в єдиному максимальному ідеалі. Ці результати частково відповідають на питання, поставлені Ларсеном, Шоресом та Левісом.

Введено понятие кольца почти единичного стабильного ранга 1, как обобщение кольца единичного стабильного ранга 1. Доказано, что кольцо почти единичного слабильного ранга 1 с ненулевым радикалом Джекобсона является кольцом единичного стабильного ранга 1, а также 2-хорошим кольцом. Введено понятие почти 2-хорошего кольца. Показано, что адекватная область является почти 2-хорошим кольцом.

Доказано, что в области элементарных делителей пересечение всех нетривиальных двусторонних идеалов равно нулю. Показано, что область Безу с конечным числом двусторонних идеалов является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она есть 2-простая область Безу.

Доказано, что адекватное кольцо с ненулевым радикалом Джекобсона имеет стабильный ранг один. Указан класс матриц над адекватным кольцом, имеющий стабильный ранг один.

Показано, що стабільний ранг адекватного дуо-кільця Безу рівний 2, а стабільний ранг всюди адекватного дуо-кільця Безу рівний 1. Введено поняття дуо-кільця майже стабільного рангу 1. Показано, що стабільний ранг дуо-кільця Безу майже стабільного рангу 1 за ненульового радикала Джекобсона рівний 1. Встановлено зв'язок всюди адекватних дуо-кілець Безу з чистими кільцями і кільцями з властивістю заміни.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.50

Рубрики:

Кільця

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Введено поняття кільця n-раз стабільного рангу 2. Доведено, що комутативне кільце Безу n-раз стабільного рангу 2 є кільцем елементарних дільників. Також доведено, що довільні n матриць над комутативним кільцем Безу n-раз стабільного рангу 2 зводяться до спеціального трикутного вигляду з елементарними дільниками на головній діагоналі за допомогою ідентичних однобічних елементарних перетворень та домноженням на відповідні оборотні матриці, з іншого боку.

Доказано, что коммутативная четкая область Безу является кольцом элементарных делителей.

Доказано, что класс полных матриц порядка 2 над кольцом элементарных делителей имеет стабильный ранг 1.

Подано теоретичний матеріал з теорії груп, кілець і полів, який входить до навчальної програми нормативного курсу "Алгебра і теорія чисел", який викладають у третьому та четвертому семестрах студентам спеціальності "Математика" і "Статистика". Описано застосування алгебраїчних структур в комп’ютерній алгебрі та криптології. Висвітлено основні алгебричні структури, множини та означення й приклади відношень, зокрема, відношення еквівалентності, розбиття та відношення еквівалентності, функціональні відношення та відображення. Викладено добуток відображень, одиничне та обернене відображення, означення та приклади алгебричних операцій, асоціативність, напівгрупа та моноїд, обернений елемент, група, підгрупа, критерій підгрупи, циклічні підгрупи та групи, порядок елемента групи тощо. Представлено найпростіші властивості групи підстановок, цикли та орбіти, розклад підстановки в добуток циклів, розклад підстановки в добуток транспозицій, парні та непарні підстановки тощо. Матеріал подано з розгляду абстрактних алгебричних операцій. Тому матриці, системи лінійних рівнянь і векторні простори в розділах розглянуто над довільним полем Р, а не над полем дійсних чисел. Кожен розділ завершено вправами, більшість яких запозичено з різних джерел. До матеріалу на самостійне опрацювання винесено вправи стосовно розкладу раціональних функцій на прості дроби, теорему Штурма, теорему про симетричні поліноми. Такі вправи супроводжено рекомендаціями або посиланнями на літературу.