Известно, что простая область Безу является областью элементарных делителей тогда и только тогда, когда она 2-простая. Доказано, что над 2-простой областью Орэ стабильного ранга 1 произвольная матрица, не являющаяся делителем нуля, эквивалентна канонической диагональной матрице.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.23

Рубрики:

Лінійні перетворення та матриці

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Доведено, що над n-простою областю Безу нерозкладними є лише матриці порядку 1 і трикутні матриці порядку n. Встановлено, що над 2-простою областю Оре стабільного рангу 1 довільна матриця, яка не є дільником нуля, діагоналізується в класичному значенні цього слова. Показано, що нерозкладними матрицями над областями Оре, які є областями Казімірського, у класі матриць, які не є дільниками нуля, є матриці порядку 1 і 2. Введено поняття кільця слабкого стабільного рангу 1 і встановлено, що таке кільце є квазі-дуо-кільцем. Одержано необхідні та достатні умови, за яких область Безу слабкого стабільного рангу 1 є областю елементарних дільників. Встановлено, що праве квазі-дуо-кільце слабкого стабільного рангу 1 є лівим квазі-дуо-кільцем (розв'язок задачі Лама-Дугаса для даного класу кілець). Доведено, що праве (ліве) кільце Безу стабільного рангу 2, в якому транспонована матриця до оборотної матриці є оборотною, є правим (лівим) кільцем Ерміта (позитивна відповідь на питання Б. Забавського для даного класу кілець). Показано, що в адекватній області всі відповідні локалізації по мультиплікативно замкнених множинах, що відповідають скрутам в сенсі Комарницького, є кільцями стабільного рангу 1. Доведено, що комутативна область Безу, в якій всі відповідні локалізації по мультиплікативно замкнених множинах, що відповідають скрутам в сенсі Комарницького, є адекватними кільцями, є областю елементарних дільників.

Введемо поняття кільця роздільного рангу 1. Встановлено, що локально роздільне кільце є кільцем роздільного рангу 1, а також те, що комутативна область Безу роздільного рангу 1 є кільцем елементарних дільників.

Подано теоретичний матеріал з теорії груп, кілець і полів, який входить до навчальної програми нормативного курсу "Алгебра і теорія чисел", який викладають у третьому та четвертому семестрах студентам спеціальності "Математика" і "Статистика". Описано застосування алгебраїчних структур в комп’ютерній алгебрі та криптології. Висвітлено основні алгебричні структури, множини та означення й приклади відношень, зокрема, відношення еквівалентності, розбиття та відношення еквівалентності, функціональні відношення та відображення. Викладено добуток відображень, одиничне та обернене відображення, означення та приклади алгебричних операцій, асоціативність, напівгрупа та моноїд, обернений елемент, група, підгрупа, критерій підгрупи, циклічні підгрупи та групи, порядок елемента групи тощо. Представлено найпростіші властивості групи підстановок, цикли та орбіти, розклад підстановки в добуток циклів, розклад підстановки в добуток транспозицій, парні та непарні підстановки тощо. Матеріал подано з розгляду абстрактних алгебричних операцій. Тому матриці, системи лінійних рівнянь і векторні простори в розділах розглянуто над довільним полем Р, а не над полем дійсних чисел. Кожен розділ завершено вправами, більшість яких запозичено з різних джерел. До матеріалу на самостійне опрацювання винесено вправи стосовно розкладу раціональних функцій на прості дроби, теорему Штурма, теорему про симетричні поліноми. Такі вправи супроводжено рекомендаціями або посиланнями на літературу.