Побудовано нову теорію і знайдено нові методи дослідження зв'язків розташування коренів многочленів і цілих функцій з властивостями їх коефіцієнтів, а також отримано описи та досліджено властивості лінійних операторів, які зберігають гіперболічність, стійкість і позитивність. Отримано достатню умову тотальної (кратної) позитивності дійсних матриць, доведено, що ця умова є точною в класах ганкелевих матриць і тепліцевих матриць. Отримано достатні умови стійкості комплексних многочленів і цілих функцій, перевірено, що вони не можуть бути поліпшеними. Знайдено опис крайніх напрямків конусу многочленів з додатними коефіцієнтами, які є невід'ємними на дійсній осі і мають степінь не більшу за дане число. Знайдено опис діагональних у стандартному базисі лінійних операторів, які зберігають вказаний конус. Отримано характеризацію нульових множин цілих абсолютно монотонних функцій, якщо вони не перетинають деякий кут, який містить від'ємну півось. Знайдено значення параметру, при яких часткова тета-функція і її відрізки ряду Тейлора належать до класу Лаґерра - Поліа. Досліджено належність до класу Лаґерра - Поліа низки інших важливих цілих функцій і їх відрізків ряду Тейлора. Знайдено нову характеризацію класу Лаґерра - Поліа через узагальнені нерівності Лаґерра. Отримано опис лінійних скінченно-різничних операторів зі сталими коефіцієнтами, які зберігають множину гіперболічних многочленів, і які зберігають множину многочленів з коренями у смузі. Доведено важливі властивості коренів образу цілої функції класу Лагерра - Поліа під дією центрально-різничного лінійного оператора. Отримано опис лінійних скінченно-різничних операторів, коефіцієнти яких є цілими функціями, що зберігають клас цілих функцій Лаґерра - Поліа.