Розглянуто задачу про параметричні коливання рідини з вільною поверхнею в резервуарі конічної форми (задача Фарадея). Рідина вважається ідеальною, нестисливою, резервуар - абсолютне тверде тіло конічної форми. Дослідження виконується на основі нелінійної моделі сумісного руху рідини та резервуара з поданням руху рідини в вигляді розкладу за формами власних коливань. Розв'язувальну математичну модель одержано у вигляді нелінійної системи звичайних диференціальних рівнянь щодо параметрів руху резервуара й амплітуд збурення форм коливань вільної поверхні рідини. Показано як нахил стінок резервуара та початкові умови впливають на розвиток динамічних процесів.

Розглянуто задачу про нелінійні коливання рідини в резервуарі, що має форму двопорожнинного гіперболоїда. Мета роботи - побудувати систему координатних функцій, яка, на відміну від форм власних коливань рідини, додатково задовольняє кінематичну граничну умову неперетікання крізь стінку резервуару, куди можуть досягати гребені нелінійних хвиль. Показано зв'язок алгоритму побудови координатних функцій з умовою розв'язності задачі.

На основі нелінійної багатомодової моделі розглянуто сумісний рух резервуара з рідиною, прикріпленого пружинами до рухомої платфоми. Проаналізовано коливання вільної поверхні рідини на стінці резервуара, збурення першої вісесиметричної форми коливань вільної поверхні рідини, рух резервуара відносно платформи та відносно початкового положення під дією імпульсної сили. Встановлено, що на стінці резервуара під час коливання вільної поверхні рідини і у разі руху резервуара відносно платформи суттєво проявляються нелінійні ефекти: модуляція коливань, дрейф середнього значення амплітуд коливань вільної поверхні рідини, вплив вищих гармонік. Наявність пружини підсилює ці ефекти. Показано, що наявність пружинного закріплення призводить переважно до збільшення коливань рідини в резервуарі.

Досліджено напружено-деформований стан замкненої пружної сферичної оболонки, заповненої ідеальною стисливою рідиною. Джерелом збудження системи є енергія, що вводиться імпульсно в газову порожнину в центрі системи. Наведено гіпотези дослідження за методом скінченних різниць і сформульовано коректну математичну постановку задачі. Одержано результати зміни в часі величини напружень для випадку вільної оболонки та для випадку часткового жорсткого закріплення її поверхні. Досліджено вплив жорсткого закріплення на напружено-деформований стан оболонки.

Запропоновано методику дослідження нестаціонарних коливань циліндричних оболонок, що взаємодіють з внутрішнім і зовнішнім потоками рідини, за дії зовнішнього постійного повздовжнього стискаючого зусилля. Зусилля зазнає вплив фінітних гармонічних збурень. З використанням методики проведено числове дослідження перехідних динамічних процесів в системі "оболонка - рідина" за різних значень параметрів збурень і надано їх аналіз.

Явище збудження хрестоподібних хвиль на вільній поверхні рідини розглянуто у 2-х скінченних розмірів контейнерах. Хвилі можуть бути збуджені гармонійними вісесиметричними деформаціями внутрішньої оболонки у об'ємі між двома циліндрами, а також у прямокутному басейні, коли один торець його є махаючим хвилепродуктором. Експериментальні спостереження виявили, що хвилі збуджуються у 2-х різних резонансних режимах. Перший вид хвиль відповідає вимушеному резонансу, коли реалізуються хвилі у напрямку вібрацій хвилепродуктора з власними частотами, рівними частоті збудження. Другий тип хвиль є параметричні резонансні хвилі, їх вузли і максимуми розташовуються перпендикулярно до вібруючих поверхонь. Ці хрестоподібні хвилі мають частоти, рівні половині частоти хвилепродуктора. Існування хаотичних аттракторів встановлено у динамічній системі, яка описує взаємодію хрестоподібних та вимушених хвиль на поверхні рідини між двома циліндрами скінченної довжини. На основі аналізу старших показників Ляпунова було встановлено 2 види усталених режимів: періодичні та хаотичні. Побудовано та вивчено фазові портрети та спектральні щільності розв'язків. У системі, яка описує резонансні хрестоподібні хвилі у прямокутному басейні, хаотичних режимів не виявлено, бо коефіцієнти зв'язку цих хвиль з вимушеними є на порядок меншими, ніж розглядаються. Тому немає факторів, які дестабілізують цю систему.

С помощью вариационного принципа решена задача о собственных колебаниях подкрепленной перекрестной системой ребер ортотропной вязкоупругой цилиндрической оболочки с протекающей жидкостью. Движение жидкости описывается волновым уравнением относительно потенциала жидкости. Частотное уравнение свободных колебаний получено на основе вариационного принципа Остроградского - Гамильтона. Частотное уравнение реализовано численно с использованием свойств функций Бесселя. Построены кривые зависимости собственных частот колебаний системы от скорости потока жидкости и проведена оптимизация подкреплений оболочки, приведена зависимость параметра подкреплений от относительного веса ребер.

Ураховуючи нелокальну пружність, одержано модель поздовжньо і згинальних автоколивань нанотрубок, транспортуючих рідину за геометрично нелінійному деформуванні. Гіпотези Ейлера і Бернуллі є засадами цій моделі. Геометрично нелінійне деформування описано нелінійним зв'язком між деформаціями та переміщеннями нанотрубки. За виведеня моделі припускалося, що амплітуди повздовжніх та згинальних коливань сумірні. Використовуючи варіаційні методи механіки, одержано систему двох нелінійних рівнянь у часткових похідних відносно повздовжніх і поперечних переміщень, які описують автоколивання нанотрубок. За допомогою методу Галеркіна одержано систему нелінійних звичайних диференційних рівнянь, які описують автоколивання. Моногармонічні автоколивання досліджуються за допомогою методу гармонічного балансу. Аналіз автоколивань зводиться до системи нелінійних алгебричних рівнянь відносно амплітуд автоколивань. Така система нелінійних рівнянь вирішується за допомогою методу Ньютона. У результаті числового модулювання встановлено, що у разі втрати стійкості тривіального положення рівноваги внаслідок біфуркацій Хопфа виникають стійкі автоколивання, які досліджуються за зміни швидкості руху рідини по нанотрубці. Результати цього аналізу наводяться на біфуркаційній діаграмі. У системі спостерігається нескінчена послідовність біфуркацій подвоєння періоду моногармонічних автоколивань. Після цієї послідовності біфуркацій спостерігаються хаотичні рухи. У результаті числового моделювання встановлено, що амплітуди повздовжніх і згинальних коливань сумірні.

Дана робота є продовженням серії теоретичних робіт Фалтінсена та Тимохи, присвячених резонуючим усталеним хлюпанням рідини в твердому баці з квадратим перерізом, із використанням нелінійної модальної системи Наріманова - Мойсеєва, яку вперше було виведено та застосовано цими вченими для дослідження проблем хлюпання рідини. Системи рівнянь такого виду можливо застосувати до коливальних, поступальних, хвильових і кренових періодичних збурень, але, через складність математичного апарату, попередні роботи досліджували лише частинні випадки цих рухів, а саме зворотно-поступальні (повздовжні, поперечні та діагональні) у різних типах баків. В даній роботі показано, що усталені хвилі, під дією таких типів збурення, асимптотично ідентичні до таких, які виникають внаслідок горизонтального орбітального збурення в баку.

Розглянуто стаціонарні коливання п'єзокерамічної циліндричної оболонки з товщинною поляризацією під дією гармонічного за часом механічного навантаження у вигляді зовнішнього тиску. Оболонка має скінченну довжину та закрита з торців жорсткими пластинами. Внутрішній об'єм оболонки заповнений нев'язкою стисливою рідиною. На циліндричні поверхні оболонки нанесено суцільне тонке електродне покриття. Поверхневі електроди вважаються розімкненими. У постановці задачі для оболонки записано рівняння вісесиметричних коливань і відповідні граничні умови на торцях. Сформульовано задачу для визначення руху у вигляді малих коливань рідини всередині оболонки, а також граничні умови рівності швидкостей частинок рідини та оболонки на поверхнях їх дотику. Наведено аналітичний вираз для визначення розподілу товщинної компоненти напруженості електричного поля, яке виникає внаслідок деформації елемента оболонки, залежності від частоти коливань зовнішнього механічного навантаження. Наведено результати числових розрахунків.