Виходячи з інваріантних властивостей універсальних мультифракталів, запропоновано простий алгоритм інтерполяції мультифрактальних щільностей. Цей алгоритм легко узагальнюється за багатовимірним випадком. Аналітично отримано мультифрактальні характеристики функцій, що інтерполюють вихідні дані. Встановлено співвідношення між параметрами, що їх містить алгоритм, та індексом Леві alpha, основним параметром скейлінгової функції універсальних мультифракталів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В165,021 + В171.52,021

Рубрики:

Фрактальний аналіз

Випадкові процеси спеціального вигляду

Шифр НБУВ: ВА591594 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Наведено теоретичні відомості про теорію катастроф, детермінований хаос та фрактали. Розкрито зміст основних понять та закономірностей. Розглянуто регулярні та критичні невироджені точки гладких функцій, багатоманітності катастрофи та біфуркаційні множини, топології Уїтні, інфінітезимальну стійкість, алгоритм Д.Мазера. Наведено приклад дослідження біфуркаційної поведінки літального апарата. Розглянуто кількісні та якісні ознаки хаосу, встановлено показник Ляпунова. Охарактеризовано класичні та випадкові фрактали, розмірність Хаусдорфа - Безиковича, афінні перетворення, метрику Хаусдорфа, систему ітерованих функцій, множини Жюліа та Мандельброта. Наведено методику визначення фрактальної розмірності атракторів та приклади застосування теорії фракталів у задачах управління.

Приведены теоретические сведения о теории катасроф, детерминированном хаосе и фракталах. Раскрыто содержание основных понятий и закономерностей. Рассмотрены регулярные и критические невырожденные точки гладких функций, многогранности катастрофы и бифуркационные множества, топологии Уитни, инфинитезимальную устойчивость, алгоритм Д.Мазера. Приведен пример исследования бифуркационного поведения летательного аппарата. Рассмотрены количественные и качественные признаки хаоса, установлен показатель Ляпунова. Охарактеризованы классические и случайные фракталы, размерность Хаусдорфа - Базиковича, афинные преобразования, метрику Хаусдорфа, систему итерированных функций, множества Жюлиа и Мандельброта. Приведена методика определения фрактальной размерности атракторов и примеры применения теории фракталов в задачах управления.

Розглянуто структуру та фрактальні властивості математичних об'єктів з складною локальною структурою: розподіл імовірностей і функцій множин. Висвітлено зміст фрактального підходу в дослідженнях розподілів імовірностей, а також залежність частотних характеристик нормальних чисел від вибраної системи зображення дійсних чисел. Описано канторівський проектор, визначений на множині ірраціональних чисел, зображених у вигляді нескінченного ланцюгового дробу. Доведено критерії консервативності, регулярності та породжування збіжності для інтегральних методів підсумовування функцій, що набувають значень з певних лінійних топологічних просторів.

С учетом применения причинного подхода, а также принципов Со-Творчества и Со-Знания раскрыто содержание фундаментальных математических понятий числа, системы координат, отображения, топологии, меры, фрактала, зеркала, фазового перехода, динамической системы. Проанализирована деятельность научной школы "Теория Причинности", а также научных центров, которые изучают данную теорию и исследуют эффективность технологий на ее основе. Раскрыто содержание понятия обобщения для двух классических фракталов: Коха и Серпинского, отражающего метрическое соотношение целого и его части и определяющегося коэффициентом подобия.

Приведены решения некоторых экстремальных задач в теории неналегающих областей, сведения о степени "гладкости" конформных отображений джордановых областей с негладкими границами, свободных движениях двухслойной жидкости в резервуаре. Описаны вынужденные колебания жидкости и упругих перегородок в прямоугольном контейнере.

Изложены основы теории фракталов, приведена общая классификация фрактальных структур, а также примеры детерминированных (геометрических и алгебраических) и недетерминированных фракталов. Охарактеризован математический аппарат, позволяющий использовать фрактальный подход при сжатии информации и описании нелинейных процессов, характерных для природных объектов и явлений. Рассмотрены фрактальные размерности реальных объектов, в частности, облаков, островов и рек. Описаны фрактальные свойства хаоса.

Розглянуто використання концепції фрактальної геометрії у різноманітних розділах природознавства. Проаналізовано зв'язок поняття фрактала з такими поняттями, як вимірність простору, міра й інтеграл, подібність і автомодельність, дробова похідна та дробовий інтеграл. На прикладах канонічних геометричних моделей фракталів, зокрема, множин Кантора та Коха, кривих Серпінського, перетворень типу "підкова", розкрито загальні властивості моно- та мультифрактальних об'єктів, явищ і процесів. Розглянуто окремі проблеми електро-, термо- та газодинаміки, нормування груп, детермінованого хаосу та хвильових процесів, астрофізики, де застосування фрактальної геометрії підтвердило існуючі парадигми та дозволило виявити нові властивості фізичних систем.

Рассмотрено использование концепции фрактальной геометрии в разнообразных разделах природоведения. Проанализирована связь понятия фрактала с такими понятиями, как измеримость пространства, мера и интеграл, подобие и автомодельность, дробная производная и дробный интеграл. На примерах канонических геометрических моделей фракталов, в частности, множеств Кантора и Коха, кривых Серпинского, преобразований типа "подкова", раскрыты общие свойства моно- и мультифрактальных объектов, явлений и процессов. Рассмотрены отдельные проблемы электро-, термо- и газодинамики, нормирования групп, детерминированного хаоса и волновых процессов, астрофизики, где применение фрактальной геометрии подтвердило существующие парадигмы и позволило выявить новые свойства физических систем.

Досліджено залежність кореляційної розмірності аттрактора Лоренца від параметра зовнішньої дії. Надано узагальнення для дрібної системи Лоренца, де зворотній зв`язок і релаксація ослаблені завдяки введенню у дрібну степінь параметра зовнішньої дії.

Надано точне математичне визначення фрактальної вимірності точкових множин евклідових просторів, що відповідає аналогічному поняттю у фізичній літературі. Доведено теорему про еквівалентність цієї метричної характеристики так званій клітинній вимірності.

Розглянуто конструювання та вивчення фрактальних властивостей scaling-функцій, одержаних за допомогою методу subdivision функцій двох змінних. Побудовано scaling-функції різного ступеня фрактальності, наведено норми операторів відновлення на основі цих функцій.

Проаналізовано взаємозв'язки різних підходів до означення хаусдорфової розмірності сингулярних імовірнісних мір на основі фрактального аналізу суттєвих носіїв цих мір. Введено в розгляд характеристичні мультифрактальні міри першого та вищих порядків, на основі яких здійснено мультифрактальний аналіз сингулярних імовірнісних мір та доведено теореми про структурне зображення таких мір.

Обсуждено современное представление о фрактальных объектах и явлениях. Разработаны программы для компьютерных исследований некоторых математических и физических фракталов.

Індекс рубрикатора НБУВ: В165

Рубрики:

Фрактальний аналіз

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В171,022 + В165,022

Рубрики:

Теорія ймовірностей

Фрактальний аналіз

Шифр НБУВ: РА303803 Пошук видання у каталогах НБУВ 

  Скачати повний текст

Досліджено фрактальні властивості сингулярних ймовірнісних розподілів, розглянуто можливості застосування одержаних результатів у теоріях чисел і динамічних систем, а також спектральній теорії самоспряжених операторів і фрактальній геометрії. Удосконалено загальну теорію багаторівневого фрактального аналізу сингулярно неперервних ймовірнісних мір (зокрема, методи спектрально-фрактального аналізу, фрактального аналізу носіїв щільності та суттєвих носіїв щільності, фрактального аналізу мінімальних носіїв щільності мір і мультифрактального аналізу ймовірнісних мір) і теорію перетворень, що зберігають розмірність Хаусдорфа - Безиковича (DP-перетворень). Розвинено загальну теорію сингулярних ймовірнісних мір, доведено теореми про їх структурне представлення. Для класів випадкових величин типу Джессена - Вінтнера знайдено необхідні та достатні умови сингулярності та детально вивчено їх фрактальні та мультифрактальні властивості. Обгрунтовано основи теорії DP-перетворень і груповий підхід до фрактальної геометрії. Запропоновано й апробовано нові методи обчислення розмірності Хаусдорфа - Безиковича. Досліджено класи перетворень, породжені розподілами випадкових величин з різних класів. Знайдено зв'язок між ентропією ймовірнісного розподілу, його розмірністю Хаусдорфа - Безиковича та належністю відповідної функції розподілу до DP-класу.

  Скачати повний текст

Проведено історичний огляд виникнення фракталів і розвитку фрактальної геометрії як прикладної науки. Актуальність дослідження обумовлена високим практичним значенням і недостатнім опрацюванням проблеми застосування фрактальних алгоритмів кодування зображень в інформаційних технологіях і комп'ютерній графіці.

Розглянуто кристалічні та квазікристалічні структури, досліджені їх фрактальні характеристики. Побудовані кристалічні структури другого, третього та четвертого порядків обертальної симетрії, а також квазікристалічні структури на основі мозаїк Пенроуза. Розраховано фрактальні характеристики одержаних поверхонь з різним степенем деталізації.