Узагальнено спектральний метод Штурма - Ліувілля для розв'язування бігармонічного рівняння. Досліджено характеристичне рівняння для визначення власних значень і побудовано власні функції. Знайдено напружено-деформований стан (НДС) прямокутної пластини, навантажженої на сторонах довільними зусиллями. Одержано подання НДС за умов довільного зовнішнього навантаження у вигляді ряду за власними функціями. Запропоновано метод інтегральних моментів для знаходження коефіцієнтів ряду. Підтверджено принцип Сен-Венана.

Рассмотрен метод штрафа стыковки сеток в смешанной схеме Германа-Мийоси для бигармонического уравнения. Построена возмущенная задача путем замены главных в смешанной вариационной формулировке условий на интерфейсе естественными, содержащими параметры, которые можно назвать штрафами. Проведена дискретизация возмущенной задачи методом конечных элементов. Получены оценки для нормы разности между решением дискретной возмущенной задачи и решением исходной задачи, зависящие от шага и штрафа. Даны рекомендации для выбора штрафов в зависимости от шага.

Рассмотрена задача оптимального граничного управления для неоднородного бигармонического уравнения, для решения которой используется один из вариантов градиентного метода. Линейная граничная задача с помощью метода потенциала сводится к системе интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Эффективность алгоритма подтверждается высокой точностью полученных численных результатов.

Виконано математичну постановку лінійної крайової задачі для неоднорідного бігармонічного рівняння, яка стала основою для формулювання задач знаходження оптимальних значень однієї з функцій крайових умов і функції правої частини неоднорідного бігармонічного рівняння, а також задачі розміщення точок і знаходження оптимальних значень функції, зосереджених у цих точках, для заданого функціоналу якості. Обгрунтовано існування та єдиність розв'язку для всіх поставлених задач, встановлено належність функцій розв'язку, правої частини рівняння та крайових умов відповідним класам просторів Соболєва. Досліджено властивості бігармонічних потенціалів, систему інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду та процес її регуляризації. Встановлено властивості функціоналів якості, знайдено їх похідні Фреше й обгрунтовано розв'язування поставлених задач градієнтним методом. Розроблено чисельні алгоритми для знаходження оптимальних параметрів крайової задачі для неоднорідного бігармонічного рівняння у випадку неканонічної форми області. Проведено оцінювання ефективності розроблених алгоритмів. Встановлено достовірність одержаних результатів та адекватність моделі. Побудовані алгоритми реалізовано у середовищі Borland Delphi 7, їх роботу продемонстровано на різних модельних задачах.

Розглянуто застосування методів теорії наближення до принципів оптимальності в теорії прийняття рішень. Часто функція ризику в процесі відшукання оптимальних рішень має досить складну структуру для вивчення її властивостей, тому виникає потреба наблизити функцію ризиків до іншої функції з простими та зрозумілими характеристиками. Досліджено асимптотичні властивості розв'язків бігармонійних рівнянь як функцій наближення. Отримано повні асимптотичні розклади верхніх меж відхилень функцій класу Соболєва W (це множина, якій належать функції ризику в процесі оптимізації прийняття рішень) від операторів, що є розв'язками бігармонійних рівнянь із певними крайовими умовами. Отримані розклади надають змогу знаходити константи Колмогорова - Нікольського як завгодно високого степеня малості, завдяки чому можна оцінювати похибку наближення під час розв'язування оптимізаційних задач із довільною точністю. Зазначено, що за допомогою бігармонійних рівнянь можна ефективно будувати математичні моделі природничих і соціальних явищ.