Вивчено питання про існування та регулярність розв'язків некоерцитивних варіаційних нерівностей.

Рассмотрены линейные и полулинейные параболические уравнения второго порядка, объединяющие нелокальное условие с условием Ньюмена. Для каждой задачи установлено существование и единственность слабого решения. Такие задачи встречаются в области теплопроводности, химии, биохимии, термоупругости, динамики популяций и других диффузионных процессов.

Досліджено властивості апроксимаційного методу В.К. Дзядика стосовно біноміальної функції. Вивчено умови, за яких оцінка для відносної похибки наближення у рівномірній метриці є точною. Результати можно застосовувати до задач теорії потенціалу.

Розглядається перша крайова задача для рівняння Гельмгольця в області, що є зовнішньою до періодичної системи тіл. Вивчається асимптотична поведінка функції Гріна цієї задачі, коли період структури та довжина хвилі стають малими. Показано, що систему тіл можна замінити ефективним потенціалом.

Рассмотрены задачи о минимизации энергии вещественных зарядов на "батареях" - объектах, введенных в 1970-х гг. и состоящих из произвольного (не только конечного, но и бесконечного, в том числе несчетного) количества замкнутых множеств и приписанных им ненулевых вещественных чисел, причем любым из указанных множеств, которым приписаны числа одного знака, разрешается пересекаться между собой. Упомянутые выше минимизационные задачи ставятся в классах зарядов, согласованных с батареей, а энергии зарядов определены заданным функциональным ядром. Приведены результаты о разрешимости задач и единственности экстремалей для указанных общих батарей и логарифмического ядра на плоскости. Изложены данные о свойствах потенциалов при дополнительных условиях.

Для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова встановлені властивість нормальності, формула згортки, додатність і деяка оцінка знизу для фундаментального розв'язку, а також доведені теореми єдиності розв'язків задачі Коші у класах функцій з обмеженим ростом та в класі невід'ємних функцій.

Розглянуто крайову задачу для спеціальної квазілінійної параболічної системи диференціальних рівнянь другого порядку з граничними умовами першого роду. Доведено теорему про існування та єдиність класичного розв'язку вищевказаної крайової задачі, базуючись на принципах максимуму та Лере - Шаудера. На основі доведеної теореми встановлено існування та єдиність розв'язку крайової задачі, яка описує математичну модель фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей.

Розглянуто нові крайові задачі Діріхле, Неймана для еліптичних рівнянь з умовами спряження. Досліджено питання існування та єдиності розв'язків. На базі використання класів розривних допустимих функцій побудовано високоточні алгоритми їх дискретизації.

Викладено й обгрунтовано розв'язком тестової задачі конкретну схему реалізації, розробленого раніше у співавторстві з С. П. Гавелею прийому зсуву множин-носіїв потенціалів, застосування якого дозволяє отримувати ефективні алгоритми розв'язання прикладних задач механіки деформованого твердого тіла, що базуються на побудові потенціальних зображень розв'язків таких задач, бо практично усуває труднощі обчислювального характеру, пов'язані з отриманням вірогідних значень відповідних потенціальних зображень та їх похідних у приконтурних точках і точках контуру (межі) області шуканих розв'язків.

Одержано достатні умови існування та єдиності обмеженого майже періодичного розв'язку напівлінійного рівняння параболічного типу.

Задачі с континуальними похідними в крайових умовах для параболічного рівняння зведено до системи двох сингулярних інтегральних рівнянь Вольтерри другого роду.

Досліджено власні коливання в системі з локальним збуренням густини. Якщо збурення маси є досить великим, то виникають явища локальних і глобальних коливань. Повні асимптотичні розвинення глобальних власних коливань побудовано для звичайного диференціального оператора четвертого порядку із використанням ВКБ--наближень.

Розглянуто системи, що описуються початково-крайовими задачами спряження для параболічних рівнянь другого порядку в частинних похідних. За результатами спостережень за станом систем на скінченному часовому інтервалі знайдено мінімаксні прогнозні оцінки для функціоналів від розв'язків цих початково-крайових задач у довільний момент часу в майбутньому. Висунуто припущення, що праві частини рівнянь, граничні, початкові умови та умови спряження, а також похибки вимірів точно не відомі, а відомі лише множини, яким вони належать.

Описано застосування оптимального методу скінченних елементів до наближеного розв'язання бігармонійної задачі з крайовими умовами другого роду. Знайдено загальне аналітичне представлення координатних функцій.

Одержано точну оцінку других похідних розв'язків (у ваговій соболєвській нормі) задачі Діріхле для квазілінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку в околі ребра області.

Досліджено теоретико-групові властивості нелокальної задачі з вільною межею для квазілінійного параболічного рівняння, що вироджується. Встановлено умови її інваріантної розв'язності, здійснено редукцію й одержано точний автомодельний розв'язок.

Розглянуто задачу Стефана для параболічного рівняння з малим параметром при похідній за часом. Наведено обгрунтування граничного переходу при наближенні малого параметру до нуля, що призводить до доказу класичної розв'язності задачі Hele - Shaw з вільною межею в малому за часом.

Розглянуто деякі методи дослідження керованості лінійних систем з узагальненими керуючими впливами (імпульсне, точкове керування). Основу підходу складають теорія гільбертових оснащень та апріорні нерівності з негативними нормами. Для псевдопараболічних і псевдогіперболічних систем наведено конкретні результати.

Встановлено умови існування та єдиності розв'язку оберненої задачі, яка полягає в одночасному визначенні двох невідомих коефіцієнтів у параболічному рівнянні. Один з коефіцієнтів є старшим і залежить від часу, інший - від просторової змінної.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626

Рубрики:

Лінійні і квазілінійні диференціальні рівняння і системи

Шифр НБУВ: Ж29095 Пошук видання у каталогах НБУВ