Доведено, що суцільна неперервність, потужність континууму дійсних чисел не існує, їх множина описується зліченною множиною квантової неперервності. Розглянуто основні кардинальні числа Кантора, закон троїстої єдності протилежностей, за допомогою якого засобами абсолютної геометрії доведено три пропозиції паралельності: Лобачевського, Рімана та постулат Евкліда.

Доказано, что сплошная непрерывность, мощность континуума действительных чисел не существует, их множество описывается счисленным множеством квантовой непрерывности. Рассмотрены основные кардинальные числа Кантора, закон троистого единства противоположностей, с помощью которого средствами абсолютной геометрии доказаны три предложения параллельности: Лобачевского, Римана и постулат Эвклида.

Викладено елементарні факти теорії множин, описано операції над ними, висвітлено поняття відповідності, відображення, функції. Проаналізовано найпростіші властивості числових функцій, дійсних та комплексних чисел. Розглянуто еквівалентні множини та їх потужності, зчисленні та континуальні множини.

Изложены элементарные факты теории множеств, описаны операции над ними, освещены понятия соответствия, отражения, функции. Проанализированы простейшие свойства числовых функций, действительных и комплексных чисел. Рассмотрены эквивалентные множества и их мощности, счисленные и континуальные множества.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.11

Рубрики:

Дійсні числа

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.11

Рубрики:

Дійсні числа

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено математичні об'єкти зі складною локальною будовою фрактальних множин, сингулярних мір, недиференційованих функцій, заданих у термінах рядів Остроградського I виду. Досліджено деякі класи замкнених ніде не щільних множин, заданих умовами стосовно елементів їх розвинення в ряд Остроградського. Установлено умови нуль-мірності та додатності міри Лебега множин з цих класів. Проведено порівняння з відповідними твердженнями про міру Лебега множин чисел, заданих умовами стосовно елементів їх розвинення у ланцюговий дріб. Показано принципові відмінності метричної теорії рядів Остроградського та метричної теорії ланцюгових дробів. Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості множини неповних сум і випадкової неповної суми ряду Остроградського I виду. Для випадкової величини з незалежними різницями елементів даного ряду знайдено критерій дискретності (неперервності) розподілу й умови сингулярності канторівського типу. Вивчено диференціальні та фрактальні властивості функції, заданої перетворювачем елементів ряду Остроградського в двійкові цифри.

Надано необхідні теоретичні відомості щодо дій над дійсними числами та виразами. Наведено приклади розв'язання типових задач з арифметики та тотожних перетворень алгебричних виразів.

Предоставлены необходимые теоретические сведения относительно действий над вещественными числами и выражениями. Приведены примеры решения типичных задач из арифметики и тождественных превращений выражений алгебраизма.

Висвітлено основи метричної теорії зображення дійсних чисел рядами Остроградського 2-го виду. Розглянуто застосування побудованої метричної теорії в теорії ймовірностей, в першу чергу, в дослідженнях розподілів випадкових рядів Остроградського 2-го виду та нескінченних згорток Бернуллі, породжених рядами Остроградського. Розв'язано ряд задач ймовірнісної теорії дійсних чисел, зокрема, задачі про лебегівську структуру відповідних розподілів. Показано, що сингулярно неперервні розподіли відіграють домінуючу роль у даних класах ймовірнісних мір. У випадку сингулярності досліджено спектральну структуру відповідних розподілів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В140.1я73 + В152.7я73 + В161.11я73

Шифр НБУВ: ВА731276 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Обговорено деякі важливі деталі, які стосуються десяткових представлень дійсних чисел, з погляду вивчення їх у школі (середня освіта). Зокрема, досліджено питання про істинності рівності 0,999 = 1.

Розглянуто послідовності вивчення конструктивних схем визначення дійсного числа. Обгрунтовано можливість ефективної реалізації таких послідовностей як у курсах математичного аналізу, так і під час поглибленого вивчення математики в школі.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.11

Рубрики:

Дійсні числа

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено закон дистрибутивності в класичній інтервальній арифметиці. Дослідження проведено для інтервальних величин, заданих у формі центр-радіус. Проведено класифікацію інтервалів, на основі якої множина інтервалів надана як об'єднання трьох підмножин, які визначаються співвідношеннями значень центрів і радіусів. Сформульовано умови виконання закону дистрибутивності, які вимагають належності трійки інтервалів і суми двох інтервалів до однієї підмножини. Наведено умови, за яких сума двох інтервалів буде належати до тієї ж підмножини, що й інтервали, які додаються. Доведено теорему, що визначає необхідні та достатні умови виконання закону дистрибутивності для інтервалів, що належать до однієї підмножини. Проведено узагальнення дистрибутивного закону на випадок довільного числа інтервалів. Наведено умови, за яких сума багатьох інтервалів буде належати до тієї ж підмножини, що й інтервали, які додаються. Наведено необхідні та достатні умови виконання узагальненого закону дистрибутивності для інтервалів, які належать до однієї підмножини. Конструктивність одержаних умов продемонстровано на числовому прикладі. Одержані результати надають можливість провести дослідження із вдосконалення алгебричної структури множини інтервалів.

Розглянуто множину чисел, що містить множину дійсних чисел і уявну одиницю, квадрат якої дорівнює одиниці. Вивчено властивості цієї множини.

Рассмотрено множество чисел, содержащее множество действительных чисел и мнимую единицу, квадрат которой равен единице. Изучены свойства этого множества.

The multitude of numbers containing the multitude of real numbers and imaginary ones the square of which is equal to one is considered in this article. The characteristics of this multitude are dealt with.

Вивчено зв'язок між середнім значенням цифр числа та частотами цифр його \i s\i0-кового зображення. Встановлено нормальні властивості числа у термінах середнього значення цифр. Описано властивості області визначення та множини значень функції \i r \i0 середнього значення цифр числа. Досліджено тополого-метричні та фрактальні властивості рівнів функції \i r\i0, тобто множин дійсних чисел, для яких середнє значення цифр існує та дорівнює наперед заданому числу. Побудовано приклади та контрприклади функцій, які зберігають середнє значення цифр числа, але не зберігають частоти цифр; а також функцій, які зберігають середнє значення цифр числа за умов відсутності частот цифр. Досліджено зв'язок функцій, які зберігають частоти цифр числа та функцій, які зберігають фрактальну розмірність Гаусдорфа - Безиковича.

Досліджено деякий пiдклас недиференцiйовних функцій. Аргументи і значення функцій, що розглядаються, подано через s-ве або нега-s-ве зображення дійсних чисел. Техніка моделювання таких функцій є простішою у порівнянні з добре відомими техніками моделювання недиференційовних функцій. Iншими словами, значення цих функцій одержано з s-го або нега-s-го зображення аргументу за допомоги певної заміни цифр чи комбінацій цифр. Описано інтегральні, фрактальні та інші властивості розглянутих функцій.

В останні роки зростає інтерес математиків до об'єктів з нетривіальними метричними і топологічними властивостями. Одним із ефективних апаратів задання і дослідження таких об'єктів є використання систем зображення дійсних чисел. Також дійсне число є фундаментальним поняттям теорії чисел, неперервної математики та теорії ймовірностей. Сьогодні у математиці та її застосуваннях широко використовуються різні системи представлення та зображення дійсних чисел. Деякі з них мають скінченний алфавіт, а деякі - нескінченний. Але у більшості випадків дійсне число моделюється з числа натурального. Класичним підходом до зображення дробової частини дійсного числа є представлення числа у формі суми ряду з чисел, обернених до натуральних. Природньо виникає необхідність систематизувати, чітко виділити чи розробити рекурсивні алгоритми розкладів дійсного числа в ряди спеціальних видів. Проведено системний аналіз наукових джерел щодо представлення чисел деякими рядами спеціальних видів для визначення найбільш важливих напрямків. При дослідженні використовувались методи та засоби метричної теорії чисел, математичного аналізу та математичної логіки. У результаті дослідження було систематизовано підхід до зображення чисел деякими рядами, чітко виділено рекурсивні кроки скінченного чи нескінченного алгоритму переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення чисел s-адичними рядами, рядом Енгеля, знакододатним та знакозмінним рядами Люрота, рядами Остроградського 1-го та 2-го видів. Дію кожного з алгоритмів було застосовано до одного і того ж самого раціонального числа з проміжку (0; 1) і виявлено, що одне і те ж саме число може мати в різних системах скінченне або нескінченне періодичне зображення. Висновки: враховуючи самоподібну структуру деяких збіжних знакододатних чи знакозмінних рядів, вдається отримати чіткі рекурсивні кроки переходу від десяткового зображення дійсного числа до зображення за допомогою рядів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.11 + В192.1

Рубрики:

Дійсні числа

Чисельні методи (чисельний аналіз)

Шифр НБУВ: Ж23887 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто ефективний спосіб означення неперервних функцій, визначених у термінах поліосновного трисимвольного зображення дробової частини дійсного числа (яке визначається ймовірнісним вектором із додатними координатами і є узагальненням класичного трійкового зображення). Для вказаних функцій знайдено ефективний спосіб їх опису та дослідження. Встановлено критерій існування нескінченних рівнів функції та критерій кускової сингулярності функції.