Проаналізовано метод розрахунку вимушених резонансних коливань механічних систем із внутрішнім резонансом, який об'єднує узагальнену теорію нелінійних нормальних форм коливань Шоу - П'єра, модифікований метод Раушера та метод гармонічного балансу. Запропоновано ітераційну процедуру розрахунку резонансних коливань. Обгрунтовано новий підхід до побудови нелінійних нормальних форм коливань, який базується на використанні рівнянь, частково зведених до головних координат, що дозволяє спростити аналітичні перетворення й обчислення. Цей підхід застосовано до аналізу динаміки однодискових роторів з ізотропними нелінійно-пружними опорами й валом - нелінійної системи з внутрішнім резонансом. Розглянуто моделі з безмасовими та з масивними нелінійно-пружними опорами. В процесі дослідження моделі ротора з масивними опорами та симетричним пружним полем знайдено розв'язки рівнянь руху двох різних типів, яким відповідають циклічно-симетричні й центрально-симетричні траєкторії руху ротора. Для побудови розв'язків першого типу запропоновано скорочену математичну модель ротора. Показано особливості застосування методу нелінійних нормальних форм для розрахунку коливань ротора на критичних швидкостях вище першої.

Побудовано механічну аналогію лінійної стаціонарної імпульсної системи. Одержано узагальнену теорему про механічну аналогію для системи з керуванням. Розглянуто лінійну імпульсну систему й одержано умови побудови її механічної аналогії. Знайдено клас таких систем, для яких така побудова можлива. Одержано механічну аналогію прецесійних рівнянь руху гіроскопічної системи. Досліджено властивості матриці перетворення до канонічної фробеніусової форми, побудовано алгоритм розкладу її в добуток елементарних матриць. Одержано необхідні та достатні умови розкладу матриці механічної аналогії в добуток матриць Фробеніуса. Застосовано теорію механічних аналогій до дослідження стійкості механічних систем.

Проаналізовано стійкість нелінійних механічних систем з коченням, реальними прототипами яких є елементи шасі та колісні екіпажі, на основі наближених підходів теорії нелінійних коливань і прикладної теорії дійсних біфуркацій (класифікацій каспоїдних особливостей). Наведено оцінки інтервалів автоколивань та їх амплітуд в аналітичному виді, розкрито вплив структури сил і різних типів нелінійної апроксимації сил відведення на інтенсивність автоколивань колісного модуля з однією і з двома ступенями свободи. Проаналізовано многовиди рівноважних станів, властивості стійкості стаціонарних станів та зміну властивостей повороткості нелінійної моделі колісного екіпажу.

Дисертаційна робота присвячена розвитку методів аналітичної механіки й асимптотичних методів нелінійної механіки для аналізу усталених резонансних хвильових рухів рідини у вертикальному резервуарі кругового перерізу за наявності демпфірування. Шляхом введення (нескінченого числа) узагальнених координат і швидкостей, застосування варіаційних принципів механіки й рівнянь Ейлера - Лагранжа другого роду у формі Майлза - Луковського, а також використання асимптотики Наріманова - Моісєєва, вихідна крайова задача із вільною поверхнею зводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь відносно введених узагальнених координат. Система ефективно наближує резонансні рухи такої механічної системи, коли частота періодичних рухів баку є близькою до першої власної частоти коливань рідини. Врахувавши в'язке демпфірування, побудовано та проаналізовано періодичні розв'язки системи, що дозволило описати всі класи усталених хвиль при орбітальних тривимірних резонансних рухах баку.