Наведено загальні теореми про стійкість стаціонарних станів механічних систем під дією неконсервативних позиційних сил. Проаналізовано ряд конкретних задач механіки: гіроскопічні системи, дволанковий маятник зі слідкуючою силою і пружно закріпленим верхнім кінцем, багатоланкові пневмоколісні екіпажі, однорейковий вагон, рейкові екіпажі. Викладено методи дослідження дивергентних біфуркацій і катастроф стаціонарних станів.

Рассмотрен второй метод Ляпунова в теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием. Проанализировано влияние точности описания двухфазного состояния вещества на параметры механического действия рентгеновского излучения. Изучены особенности упругожидкостного взаимодействия в тонкостенных цилиндрических волноводах. Исследована реакция цилиндрических оболочек, взаимодействующих с жидкостью, при их импульсном локальном нагружении. Значительное внимание уделено дискретным динамическим системам с инвариантным многообразием, математическому и компьютерному моделированию резонансных явлений в системе связанных осцилляторов.

Изложены новые результаты, полученные в теории асимптотической устойчивости в среднем квадратичном линейных и квазилинейных (типа автоматического регулирования Лурье - Постникова с нелинейной обратной связью) непрерывных и дискретных динамических систем при возмущении их коэффициентов (параметров) стохастическими процессами типа стационарных "непрерывного" и дискретного белых шумов. Показано, что математическими моделями данных динамических систем являются системы линейных и квазилинейных дифференциальных, дифференциально-разностных и разностных (с дискретным и непрерывным аргументами) стохастических уравнений типа Ито. При помощи аппарата стохастических функций Ляпунова, стохастических функционалов Ляпунова - Красовского и матричных алгебраических уравнений Сильвестра выявлено и исследовано - ранее нигде не описанный в литературе - дестабилизирующий в среднем квадратичном эффект параметрических (коэффициентных) стохастических возмущений.

Сформульовано умови асимптотичної технічної стійкості нелінійного керованого руху за сталої швидкості видовжених пружних літальних систем у разі їх поздовжнього вертикального руху. У заданих процесах враховується вплив змінності поперечного перерізу, суттєвість поперечних деформацій і коливань систем. Побудовані критерії асимптотичної технічної стійкості залежать від основних параметрів керованого процесу, включаючи приріст поперечного навантаження від ваги в разі викривлення осі системи і аеродинамічних сил під час вертикального польоту. Визначено достатні умови технічної нестійкості заданого процесу.

Приведена математическая модель вращающегося лопастного винта с учетом упругости и трения в шарнирах. Использован метод моделирования системой связанных твердых тел. В случае равномерных вращений винта с симметричными лопастями доказана асимптотическая устойчивость относительного положения равновесия лопастей винта. Для случая равномерных вращений винта с несимметричными лопастями получено необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости относительного положения равновесия винта. В случае неравномерных вращений винта с симметричными лопастями получено достаточное условие, обеспечивающее асимптотическую устойчивость относительного положения равновесия лопастей винта.

Рассмотрена задача о применении знакопостоянных функций Ляпунова в исследовании устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы. Представлено целостное решение этой задачи, и его применение в задаче об устойчивости невозмущенного движения механической системы с первыми интегралами.

Для нелінійних імпульсних систем зі структурними збуреннями встановлено нові умови стійкості відносно двох мір. Наведено каталог двох мір, які використовуються в нелінійній динаміці імпульсних систем.

Наведено деякі результати, одержані у відділі стійкості процесів Інституту механіки НАН України в таких розділах теорій стійкості руху: некласичні теорії стійкості руху, метод інтегральних нерівностей, метод порівняння, стійкість великомасштабних систем, аналіз стійкості рухів у нелінійній механіці, матрично-значні функції Ляпунова та їх застосування, якісний аналіз еволюції популяцій. Обговорено характерні ознаки розвитку теорій стійкості в кінці XX століття.

Рассмотрен вопрос о влиянии диссипативных сил с частичной диссипацией энергии на устойчивость положения относительного равновесия механической системы общего вида с позиционными и циклическими координатами. Доказана теорема об асимптотической устойчивости. В качестве примера рассмотрена система с четырьмя степенями свободы и установлена асимптотическая устойчивость ее равномерных вращений.

Розглянуто задачу синтезу нелінійного закону керування для модельної механічної системи, що складається з твердого тіла-носія та приєднаних до нього гнучких стрижнів. Система рухається у площині під дією керуючого моменту сил, прикладеного до носія. Для одержання математичної моделі у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь застосовано модальний метод дискретизації. Наведено рівняння руху у формі Ейлера - Лагранжа з нескінченною кількістю пружних координат і змінною, що характеризує орієнтацію носія. Для одержаної нелінійної системи знайдено керування у вигляді зворотного зв'язку, що забезпечує асимптотичну стійкість положення рівноваги щодо визначених комбінацій гнучких координат та орієнтації тіла. Під час дослідження використано підхід керованих функцій Ляпунова щодо частини змінних. Доведено стійкість за Ляпуновим повної системи за всіма фазовими змінними. Вивчено питання про реалізацію одержаного зворотного зв'язку в разі додаткових вимірів відносного зсуву стрижнів. Показано спостережливість досліджуваної системи за різних режимів руху. Наведено результати числового моделювання.

Рассмотрены трехмерные линейные системы управления. Найдены условия их управляемости, стабилизируемости, наблюдаемости и детектабельности в терминах коэффициентов системы. Проанализирована стабилизируемость системы по выходу. Указаны условия, при которых невозможна стабилизация по выходу даже при помощи автомата, и приведены примеры систем, не стабилизируемых обычным управлением по выходу, но стабилизируемых с помощью автомата.

Проаналізовано результати дослідження внутрішньої та поверхневої нестійкості волокнистих і шаруватих композитних матеріалів у рамках моделі кусково-однорідного середовища та рівнянь тривимірної лінеаризованої теорії стійкості. Вивчено можливі форми втрати стійкості армуючих елементів у композитних матеріалах з пружною (полімерною) та пружно-пластичною (металічною) матрицями. Визначено області достовірності наближених прикладних розрахункових схем і наведено приклади застосування результатів у разі руйнування (викликаного структурною втратою стійкості) однонаправлених композитних матеріалів.

Розглянуто проблему стійкості в сингулярно збурених системах, що містять структурні збурення. Одержано достатні умови асимптотичної стійкості та рівномірної асимптотичної стійкості. Системи, що розглянуто, широко використовуються в кількох напрямках застосувань, зокрема, в теорії керування системами, інженерії та ін.

У задачі трьох тіл розглянуто зв'язок між стійкістю за Хіллом фіксованої пари матеріальних точок і стійкістю за Лагранжем системи всіх трьох матеріальних точок. Доведено відповідну теорему, що встановлює достатні умови стійкості за Лагранжем. Розглянуто наслідок одержаної теореми стосовно обмеженої задачі трьох тіл. Установлено співвідношення, які зв'язують нарізно квадрати взаємних відстаней між матеріальними точками та квадрати відстаней матеріальних точок до барицентра системи. Ці співвідношення можуть виявитися корисними як в необмеженій, так і в обмеженій задачах трьох тіл.

Встановлено достатні умови практичної стійкості руху за лінійним наближенням гібридних систем. Основним методом дослідження вибрано метод інтегральних нерівностей та їх дискретних аналогів. Використовуючи формулу Коші та інтегральні нерівності, встановлено оцінки розв'язків квазілінійних гібридних систем, на основі яких одержано умови практичної стійкості руху за частиною змінних та всіма змінними.

Установлено нові достатні умови практичної стійкості та технічної стійкості квазілінійної імпульсної системи. На числовому прикладі проілюстровано застосування одержаних результатів.

Розглянуто питання, пов'язані з роботою за реальних умов одного з варіантів пристрою для експериментального знаходження напрямків головних центральних осей інерції в довільному неоднорідному твердому тілі. Вивчено вплив зовнішньої і внутрішньої дисипації на стійкість і точність роботи пристрою.

Рассмотрена задача о стабилизации движения управляемой системы с запаздывающей обратной связью. Решение находится с помощью теорем со знакопостоянными функционалами Ляпунова. В качестве примеров приводятся решение задачи о стабилизации положения равновесия управляемой линейной нестационарной механической системы с одной степенью свободы и решение задачи о стабилизации неустойчивого стационарного вращательного движения твердого тела вокруг средней главной оси инерции.

На підставі інорного підходу одержано умови асимптотичної стійкості обертання у середовищі, що чинить опір, вовчка Лагранжа з порожниною, яка містить ідеальну рідину. Інорний підхід, на відміну від критерієв Рауса - Гурвіца та Л'єнара - Шипара, виявився найбільш зручним для досліджень характеристичних рівнянь із комплексними коефіцієнтами.

Исследовано влияние нелинейных диссипативных сил на устойчивость циркуляционной системы с двумя степенями свободы. В терминах системы получены условия устойчивости системы, а также неустойчивости.