Розглянуто питання застосування поліметричної методології в науці, основи поліметричної теорії міри та вимірювань. Наведено основні поліметричні, кібернетичні, лінгвістичні та фізичні моделі, а також модель функціонально-логічних автоматів. Викладено основи релаксаційної оптики, наведено основні результати теорії інформаційних обчислень.

Висвітлено проблему підвищення точності кількісного дослідження (аналізу та прогнозу) процесів у багатокомпонентних грунтових середовищах і складних неоднорідних інженерних об'єктах, визначено їх динамічні характеристики. Запропоновано математичні моделі (нові класи крайових задач з розривними розв'язками), що описують процеси у неоднорідних середовищах з тонкими включеннями-тріщинами та проведено їх дослідження. Розроблено та теоретично обгрунтовано високоточні обчислювальні алгоритми дискретизації для різних класів крайових задач: лінійних, квазілінійних, спектральних. Побудовано матриці-регуляризатори двошарових ітераційних процесів, які забезпечують їх збіжність зі швидкістю геометричної прогресії. Одержано оцінки похибок розв'язків у випадку заміни головних умов природними з малим параметром.

Предложены новые модели динамики многокомпонентных распределенных систем с сосредоточенными массами, модели систем, описываемых уравнениями 2-го порядка с двумя точками разрыва решения (в частности задачи Неймана), параболическим уравнением с условиями сопряжения комплексного воздействия на состояние системы, уравнением 4-го порядка с одной и двумя степенями свободы. Рассмотрены вопросы их разрешимости и выделения единственных решений. Приведены вычислительные схемы повышенного порядка точности их дискретизации. Изучено оптимальное управление динамическим, вязкоупругим, термоупругим (в частности условно корректными системами - случаи неединственного задания определенных составляющих состояний) и другими состояниями многокомпонентных систем. Особое внимание уделено описанию новых информационных технологий, функционирующих на современных ПЭВМ PENTIUM и комплексах PENTIUM - суперкомпьютер СКИТ, которые предназначены для анализа сложных процессов многокомпонентных объектов.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.63 + В195.1,0

Рубрики:

Спеціальні функції

Математичне моделювання

Шифр НБУВ: ВС41334 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Представлены новые методы анализа эволюционных моделей систем и процессов в электродинамике, радиотехнике, теплофизике, фильтрации жидкости. Рассмотрены вопросы математического моделирования данных систем и процессов с использованием неявных и вырожденных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Освещена математическая теория разных классов неявных и вырожденных дифференциальных уравнений для исследования построенных моделей.

Наведено підхід до математичного моделювання розв'язків прямих і обернених задач динаміки розподілених просторово-часових процесів, формалізованих диференціальною моделлю з неповно визначеним початково-крайовим станом. Запропоновано методику побудови функції стану даних процесів, яка точно відповідаючи диференціальній моделі системи за середньоквадратичним критерієм, узгоджується з початково-крайовим зовнішньодинамічним станом. Для обернених динамічних задач визначено керувальні фактори (розподілені, початкові та крайові), які знайдений стан процесу середньоквадратично наближають до дискретно та неперервно за просторово-часовими координатами заданих значень. Подано розв'язок задачі оптимізації процесів моделювання динаміки зазначених систем.

Приведен подход к математическому моделированию решений прямых и обратных задач динамики распределенных пространственно-временных процессов, формализированных дифференциальной моделью с неполно определенным начально-краевым состоянием. Предложена методика построения функции состояния данных процессов, которая полностью соответствуя дифференциальной модели системы по среднеквадратическому критерию, согласовывается с начально-краевым внешнединамическим состоянием. Для обратных динамических задач определены управляющие факторы (распределенные, начальные и краевые), который найденное состояние процесса среднеквадратически приближают к дискретным и непрерывным по пространственно-временным координатам заданным значениям. Дано решение задачи оптимизации процессов моделирования динамики указанных систем.

Проведено математичне моделювання та досліджено вплив включень і порожнин у твердих тілах довільної форми на потенціальні поля різної фізичної природи з метою створення ефективних методів ідентифікації неоднорідностей. З використанням методу фіктивних джерел розроблено математичні моделі для тіла довільної форми з системою включень та для півплощини з включенням за наявності трьох схем зондування. Створено методики числових досліджень цих задач з використанням непрямих методів приграничних та граничних елементів. Проведено числові дослідження задач ідентифікації включення у півплощині за наявності трьох схем зондування. Одержано інтерпретаційні формули, які за відомими характеристиками потенціального поля дозволяють визначати окремі невідомі параметри включення. Для розв'язування багатопараметричних обернених задач ідентифікації реалізовано варіаційну схему. Для проведення прикладних досліджень створено програмне забезпечення з графічним інтерфейсом.

Створено теоретичні основи побудови числових методів лінійної алгебри для розв'язання математичних задач, необхідних для математичного моделювання явищ, процесів, систем у різних предметних областях. Досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з додатно означеними та виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії та теоретичною основою побудови методів розв'язання ряду задач лінійної алгебри. Побудовано і наведено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Показано, що розроблені ітераційні методи адаптовані для роз'язування інших задач лінійної алгебри. Сформульовано математичні моделі у вигляді коректно поставлених варіаційних задач. Розроблено методологію одержання методами скінченних елементів і скінченних різниць, дослідження дискретних моделей задач, що апроксимують крайові з наближено заданими вхідними даними. Побудовано та досліджено паралельні алгоритми для ітераційних методів.

Дисертацію присвячено питанням побудови консервативних числових методів для рівнянь Гамільтона із зовнішнім збуренням та дослідження їхніх властивостей при моделюванні нелінійних та параметричних систем. Особливу увагу звернено на збереження в дискретних моделях якісних властивостей, притаманних вихідним неперервним моделям. Доведено, що консервативні методи дають змогу при збереженні точності розрахунку на проміжках часу порядку періоду коливань набагато покращити точність розрахунку на великих проміжках часу у порівнянні з однокроковими методами другого порядку. Обгрунтовано неможливість виникнення квазіперіодичних і хаотичних режимів при застосуванні консервативних методів. Встановлено шляхом числових розрахунків краще збереження адіабатичних інваріантів у дискретних моделях, отриманих при застосуванні консервативних методів у порівнянні з однокроковими методами другого порядку.

  Скачати повний текст

З метою моделювання, а також дослідження оптимізації параметрів систем типу "конвекція - масообмін - дифузія" у деформівних середовищах на базі модифікації закону Дарсі розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу визначальних факторів процесу та характеристик деформівного середовища, зокрема, їх стабілізацію з встановленням відповідних зон збурення. Створено нову ефективну методологію числового наближення розв'язків нелінійних задач типу "фільтрація" на конформні та квазіконформні відображення в областях, обмежених лініями течії й еквіпотенціальними лініями, з використанням ідеї їх обернення, яку поширено на випадки неоднорідних, шаруватих, анізотропних середовищ та задачі в областях з вільними межами й особливостями. На підставі результатів системного аналізу усіх можливих випадків формування течії залежно від заданих значень потенціалу керування на ділянці збурення однієї з межових ліній течії чотирикутної криволінійної області, а також з використанням одного з внутрішніх контурів трив'язної області, розв'язано проблему неоднозначності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення (за різних умов оптимізації та керування). Для дослідження процесів типу "конвекція - дифузія" на таких фільтраційних фонах поставлено відповідні нелінійні сингулярно збурені задачі з післядією та розроблено методологію побудови числово-асимптотичних розвинень їх розв'язків, яку, зокрема, перенесена на випадки областей з вільними межами. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутних і

Досліджено просторово-неоднорідні та хаотичні розв'язки в системах типу реакції - дифузії, зокрема, з кубічною нелінійністю типу Гірера - Мейнхарда та з експоненційними нелінійностями, а також в електронно-дірковій плазмі. У науковому дослідженні застосовано метод малого параметра для систем типу реакції - дифузії, в якому малим параметром є відхилення від критичного значення параметра. На базі даного методу побудовано криву розподілу типу розшарування розв'язку у першій точці біфуркації. На підставі теорії апроксимаційних інерційних багатовидів дисипативних динамічних систем зроблено аналітичне обгрунтування існування глобального антрактора у випадку виконання умов теореми Гопфа. Для системи з кубічною нелінійністю досліджено вторинну біфуркацію Гопфа, яка відбувається після біфуркації Тюрінга, та побудовано біфуркаційну діаграму, в якій враховано вторинну біфуркацію Гопфа. Запропоновано нові підходи до оцінювання хаотичної поведінки розв'язків. Досліджено розклад розв'язку за маленькими хвилями (вейвлет-перетворення). Для класифікації розв'язків застосовано методи візуалізації даних, зокрема, методи Саммона та головних компонент.

Розроблено методи математичного моделювання систем і процесів у електродинаміці, радіотехніці, теплофізиці, фільтрації рідини та синтезу відповідних математичних моделей. Розвинуто теорію різних класів неявних і вироджених еволюційних рівнянь, що виникають під час побудови математичних моделей. Досліджено питання щодо її застосування для розробки інструментальних засобів аналізу побудованих математичних моделей і відповідних числових методів. Створено математичну модель еволюції електромагнітного поля у скінченному хвилеводі з просторово-дисперсним середовищем, математичні моделі перехідних режимів електричних кіл з зосередженими та розподіленими елементами, а також у випадку імпульсних збурень струмів і напруг, математичну модель фільтрації рідини у тріщинувато-пористих породах з розподіленим зовнішнім джерелом, математичну модель теплообміну за умов керування температурою з запізненням у неоднорідному середовищі з теплоємкістю, що вироджується. Розвинуто теорію різних класів неявних і вироджених еволюційних рівнянь, зокрема, диференціально-операторних рівнянь високого порядку, диференціально-різницевих і різницевих, а також функціонально-диференціальних рівнянь з імпульсними діями. Розроблено методи застосування одержаних теоретичних результатів до якісного аналізу систем і процесів, математичні моделі яких містять неявні та вироджені еволюційні рівняння.

Проведено дослідження фільтраційних деформацій у пористих середовищах - криволінійних чотирикутних складної геометрії областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу. На підставі ідеі поетапної параметризації даних характеристик розроблено нові ефективні алгоритми розв'язання відповідних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення криволінійних чотирикутників на прямокутники, що описують процеси зворотного впливу градієнтів квазіпотенціалу (більших за їх критичні значення) на фільтраційні характеристики середовища. На основі побудованих розв'язків нелінійних задач, за яких коефіцієнт та компоненти тензора фільтрації залежать від координат її фізичної області, пошукових функцій течії, потенціалу та його градієнта досліджено характер формування збурених зон середовища. Одержано модельні співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується під впливом гідродинамічної дії фільтраційного потоку. Встановлено, що врахування властивостей пористого середовища та впливу градієнтів потенціалу на процес фільтрації принципово змінює базові положення методики оцінки фільтраційних характеристик грунтів.

Створено методи математичного та числового моделювання аномальних дифузійних процесів на основі застосування та удосконалення апарату варіаційних нерівностей. Розроблено комп'ютерно орієнтовані засоби аналізу, ідентифікації та управління, які забезпечують ефективне розв'язання прикладних задач під час дослідження та використання широкого класу природних і технологічних процесів і об'єктів. Виконано систематизацію аномальних дифузійних процесів і здійснено їх формалізацію на базі апарата варіаційних нерівностей у випадках мультиплікативного представлення функцій стану та багатокомпонентних систем. Запропоновано сукупність математичних моделей (ММ) аномальних дифузійних процесів і методів їх реалізації у задачах дослідження (моделювання, ідентифікації та управління) зазначеними процесами. Результати теоретичних досліджень, зокрема розроблені ММ, методи й алгоритми їх обчислювальної реалізації, використано для побудови програмного комплексу для розв'язання прикладних задач аналізу, ідентифікації та управління аномальними дифузійними процесами.

Розроблено новий підхід щодо опису невизначеності у вигляді концепції "множинних моделей невизначеності". Запропоновано методи та засоби опису невизначеності та дослідження властивостей відповідних об'єктів. Здійснено статичну інтерпретацію та модифікацію визначення нечітких підмножин, математичної теорії Гок-перетворення та його використання на базі псевдообернення як засобу кластеризації за гіперплощинами в евклідових і сепарабельних гільбертових просторах. Удосконалено методи градієнтної оптимізації для систем керування з дискретним часом з запізненням. Показано можливості їх використання для створення ефективних методів апроксимації функцій, представлених своїми значеннями.

  Скачати повний текст

Розглянуто питання розробки багатомірних моделей та методів моделювання фізичних процесів на основі системи одномірних диференціальних перетворень. Викладено символічний метод опису фізичних процесів з крайовими умовами, який допомагає уникнути методичної похибки та одержати аналітичний опис фізичних процесів. Розвинуто системоаналоговий метод моделювання на двомірні фізичні процеси, які описуються змішаними крайовими задачами. Відзначено, що даний метод допомагає синтезувати аналітичну структуру математичної моделі фізичного процесу в кусково-однорідних середовищах. Подальшого розвитку набув метод балансу диференціальних спектрів для моделювання двомірних фізичних процесів, який допомагає одержати математичний опис фізичного процесу та відновити його аналітичну модель. Висвітлено результати моделювання і експериментального дослідження фізичних процесів і полів, що підтвердили ефективність і достовірність розроблених моделей і методів.

Розроблено та досліджено еколого-економічні моделі типу міжгалузевої еколого-економічної балансової моделі Леонтьєва - Форда та алгоритми для розв'язання задач великої розмірності, що виникають за даних умов. Застосування розроблених алгоритмів дозволяє враховувати розрідженість матриці нормативних коефіцієнтів, цілочисловість змінних і похибку обчислень. Проведено обчислювальні експерименти і теоретично доведено ефективність застосування алгоритмів послідовного аналізу варіантів до моделей типу Леонтьєва - Форда.

Запропоновано нові математичні моделі неусталених процесів дифузії, які відбуваються в багатокомпонентних (у тому числі грунтових) середовищах, що вміщують довільно орієнтовані у просторі тонкі включення або тріщини. Їх сформульовано у вигляді нових класів початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу з неоднорідними умовами спряження. З метою знаходження наближених узагальнених розривних розв'язків розглянутих задач побудовано обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності. Одержано оцінки похибок наближених узагальнених розв'язків, одержаних за допомогою різницевої схеми Кранко - Ніколсона та розривних функцій за методом скінченних елементів (МСЕ). З використанням розроблених обчислювальних алгоритмів та засобів об'єктного програмування створено автоматизований комплекс НАДРА. Проведено обчислювальні експерименти, які підтверджують ефективність запропонованих алгоритмів.