Розглядаються основні комбінаторні поняття і формули, які знаходять застосування в теорії ймовірностей, зокрема, при розв'язуванні задач за допомогою класичного означення ймовірності; основні поняття класичної теорії ймовірності, наведено типові приклади ймовірнісних задач і методику їх розв'язання. Представлено одну з важливих схем теорії ймовірностей - схема Бернуллі та її застосування. Значну увагу приділено наближеним формулам для обчислення біномних ймовірностей. Аналізуються одновимірні та багатовимірні випадкові величини, їх функції розподілу, числові характеристики, найважливіші закони розподілу, які знаходять практичне застосування, а також закон великих чисел (ЗВЧ) і центральна гранична теорема (ЦГТ). Розглянуто типові приклади задач, пов'язаних з випадковими величинами та їх характеристиками.

Викладено лекції з теорії ймовірностей з додатками варіантів двох графічно-типових розрахунків (ГТР) і прикладами їх виконання за темами: випадкові події і випадкові величини; системи випадкових величин і випадкові функції, а також лекції з математичної статистики з додатками варіантів ГТР і прикладами їх виконання.

Викладено основні поняття, методи, теореми та формули з теорії ймовірностей і математичної статистики. Велику увагу приділено побудові простої випадкової вибірки заданого об'єму за заданою скінченою виборкою; впорядкуванню і організації даних у вигляді розподілів частот та накопичених частот; побудові довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання нормального розподілу; поданню отриманих розподілів у графічному вигляді - гістограм, полігонів частот та ін. Окремо розглянуто алгоритми Excel, які корисні в статистичних обчисленнях: введення даних, редагування графіків за допомогою майстра діаграм, оформлення результатів та підготовка до друку. Наведено багато розв'язаних типових задач; зразки контрольних робіт, тести перевірки знань студентів та застосування комп'ютерного аналізу до розв'язання задач теорії ймовірностей та математичної статистики засобами Excel 97 тощо.

Викладено відомості з теорії числення ймовірностей, яка включає класичне визначення ймовірності, геометричну ймовірність, алгебру подій, теореми додавання та множення ймовірностей, формулу повної ймовірності, формули Байєса. Розглянуто граничні теореми в схемі Бернуллі, теорему Пуасона, числові характеристики випадкових величин, приклади біноміального, рівномірного, нормального, показникового розподілів та розподілу Пуасона.

Содержится около 200 задач по теории вероятностей с решениями. Теоретическая часть пособия представляет собой в конспективной, сжатой форме следующие разделы: простейшие вероятностные схемы, случайные величины и законы их распределения, числовые характеристики случайных величин, функции случайных величин, сходимость последовательностей случайных величин, характеристические функции, предельные теоремы, дискретные цепи Маркова. Приложение включает основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Рассмотрены основные понятия теории вероятностей, методы вероятностных и статистических расчетов. Обоснованы зависимые и независимые случайные события, изложены основные формулы сложения и умножения вероятностей. Описаны одномерные и многомерные случайные величины, функции случайных величин, основные законы распределения целочисленных и непрерывных случайных величин, предельные теоремы вероятностей. Раскрыты элементы математической статистики, приведены статистические оценки параметров генеральной совокупности и пр.

Рассмотрены ключевые понятия теории вероятностей, повторение испытаний, функции одного и двух случайных аргументов, элементы математической статистики. Приведены основные теоремы теории вероятностей, случайные величины, наиболее распространенные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики, системы случайных величин. Представлен большой объем разнообразных задач, охватывающих банковское и страховое дело, рыночные отношения и маркетинг.

Подано комбінаторні поняття і формули, що знаходять застосування в теорії ймовірностей і математичній статистиці та інших розділах математики. Розглянуто випадкові події та імовірності, основні теореми класичної теорії ймовірностей. Наведено різні означення імовірності (частотне, класичне, аксіоматичне, геометричне), умовну імовірність та її властивості, незалежність випадкових подій, теореми додавання та множення імовірностей. Викладено випадкові вектори і функції випадкових аргументів, числові характеристики випадкових величин, закон великих чисел, типові задачі математичної статистики, основні поняття вибіркового методу, статистичні оцінки параметрів розподілу, питання кореляційного аналізу та статистичної перевірки гіпотез.

Викладено основні поняття теорії ймовірностей, а саме: прості та складні випадкові події, операції над подіями, геометричну та статистичну ймовірність. Значну увагу приділено використанню формул даної теорії для оцінювання надійності роботи простих систем, повторювальним незалежним експериментам за схемою Бернуллі, одновимірним та багатовимірним випадковим величинам, а також функціям випадкових аргументів. Детально розглянуто основні закони цілочислових випадкових величин, зокрема, біноміальний, Пуасонівський, геометричний, рівномірний та гіпергеометричний закони розподілу ймовірностей. Окремі розділи присвячено теоремам Чебишова, Ляпунова, а також Муавра - Лапласа.

Розглянуто основні теоретичні положення теорії ймовірностей, ймовірнісні закономірності масових однорідних випадкових подій, методи розв'язування конкретних прикладів. Висвітлено елементи комбінаторики, теореми додавання та множення ймовірностей, повторні незалежні випробування. Вивчено випадкові величини та функції розподілу, наведено числові характеристики дискретних і двовимірних випадкових величин, основні закони розподілу неперервних випадкових величин тощо.

Викладено аксіоми теорії ймовірностей, наведено приклади ймовірнісних просторів, загальне означення випадкових величини і вектора, математичного сподівання, числові характеристики випадкових векторів. Розглянуто властивості дисперсії, характеристичні функції, незалежні випадкові величини, нормальні випадкові вектори, закон великих чисел, а також класичну центральну граничну теорему.

Изложены аксиомы теории вероятностей, приведены примеры вероятностных пространств, общее определение случайных величины и вектора, математического ожидания, числовые характеристики случайных векторов. Рассмотрены свойства дисперсии, характеристические функции, независимые случайные величины, нормальные случайные векторы, закон больших чисел, а также классическая центральная предельная теорема.

Розглянуто питання теорії ймовірностей, зокрема, простір елементарних подій, класичне, геометричне та статистичне означення ймовірності, алгебру та сигма-алгебру подій. Розкрито зміст поняття незалежності подій. Висвітлено особливості застосування умовних ймовірностей. Наведено правило множення ймовірностей, формулу повної ймовірності Байєса, граничні теореми у схемі Бернуллі, закон великих чисел, нерівності Маркова та Чебишева, теореми Бернуллі та Пуассона. Увагу приділено числовим характеристикам випадкових величин.

Рассмотрены вопросы теории вероятностей, в частности, пространство элементарных событий, классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности, алгебра и сигма-алгебра событий. Раскрыто содержание понятия независимости событий. Освещены особенности применения условных вероятностей. Приведены правило умножения вероятностей, формула полной вероятности Байесса, предельные теоремы в схеме Бернулли, закон больших чисел, неравенства Маркова и Чебышева, теоремы Бернулли и Пуассона. Внимание уделено числовым характеристикам случайных величин.

Розглянуто елементи множин та комбінаторики, які використовуються у теорії ймовірностей. Розкрито сутність основних імовірнісних понять на підставі теоретично-множинного означення випадкової події та її ймовірності в аксіоматичній побудові А.М.Колмогорова. Наведено приклади імовірнісних моделей та розглянуто математичні залежності між параметрами їх об'єктів. Викладено класичне означення ймовірності, наведено закони операцій над випадковими подіями. Проаналізовано послідовність незалежних випробувань (схему Бернуллі). Розглянуто статистичні задачі, які розв'язуються на основі інтегральної теореми Муавра - Лапласа. Визначено зміст поняття дискретних та неперервних випадкових величин, наведено їх числові характеристики. Встановлено властивості математичного сподівання, інтегральної та диференціальної функцій. Описано основні розподіли неперервних та багатовимірних випадкових величин, наведено закон великих чисел, нерівність і теорему Чебишова, викладено доведення теорем Бернуллі та Ляпунова.

Рассмотрены элементы множества и комбинаторики, используемые в теории вероятностей. Раскрыта сущность основних вероятностных понятий на основе теоретико-множественного определения случайного события и его вероятности в аксиоматическом представлении А.М.Колмогорова. Приведены примеры вероятностных моделей и рассмотрены математические зависимости между параметрами их объектов. Приведено классическое определение вероятности, представлены законы операций над случайными событиями. Проанализирована последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Рассмотрены статистические задачи, для решения которых используют интегральную теорему Муавра - Лапласа. Раскрыто содержание понятия дискретных и беспрерывных случайных величин, приведены их числовые характеристики. Установлены свойства математического ожидания, интегральной и дифференциальной функций. Описаны основные распределения непрерывных и многомерных случайных величин, рассмотрены закон больших чисел, неравенство и теорему Чебышева, а также доказательство теорем Бернулли и Ляпунова.

Викладено відомості з теорії імовірностей. Розкрито зміст понять комбінаторики, розміщення, перестановки та комбінації з повторенням, елементарних подій, вибірки, варіаційного та статистичного рядів, властивостей дисперсії, моди, коефіцієнта варіації, асиметрії та ексцесу, середнього лінійного відхилення. Наведено теоретико-множинний підхід до вивчення імовірностей, числові характеристики статистичного ряду, формули Бейсса та Пуассона, закони розподілу неперервних випадкових величин.

Изложены сведения о теории вероятностей. Раскрыто содержание понятий комбинаторики, размещения, перестановки и комбинации с повторением, элементарных событий, выборки, вариационного и статистического рядов, свойств дисперсии, моды, коэффициента вариации, асимметрии и эксцесса, среднего линейного отклонения. Приведены теоретико-множественный подход к изучению вероятностей, числовые характеристики статистического ряда, формулы Бейсса и Пуассона, законы распределения непрерывных случайных величин.

Розглянуто елементи комбінаторики, простір елементарних подій, випадкові події й операції над ними, ймовірності подій, теореми додавання та множення ймовірностей. Наведено формулу повної ймовірності та послідовні незалежні випробування.

Рассмотрены элементы комбинаторики, пространство элементарных событий, случайные события и операции над ними, вероятности событий, теоремы додавания и умножения вероятностей. Изложены формула полной вероятности и последовательные независимые испытания.

Рассмотрены вопросы теории вероятностей. Освещены проблемы анализа, оптимизации и прогнозирования развития ситуации в различных областях деятельности, в частности инженерных. Уделено внимание случайным явлениям, вероятности событий, теоремам сложения и умножения вероятностей, дискретным и непрерывным случайным величинам, числовым характеристикам статистического распределения, критериям согласия, эргодическим свойствам стационарных функций.

Рассмотрены основные понятия и теоремы теории вероятностей, в частности, описаны виды случайных событий, дано классическое определение вероятности, раскрыта сущность относительной частоты. Охарактеризованы дискретные и непрерывные случайные величины, изложены законы распределения их вероятностей и больших чисел. Приведены теоремы сложения вероятностей несовместных/совместных событий, умножения вероятностей, а также Бернулли, Лапласа, Чебышева. Рассмотрены функции распределения вероятностей случайной величины и одного случайного аргумента, числовые характеристики показательного распределения, основные формулы комбинаторики, приведены примеры решения различных типов задач.

Розкрито сутність основних понять теорії ймовірностей, охарактеризовано елементи теорії випадкових величин. Розглянуто випадкові події та величини, рівномірний і біномний розподіл, схему Бернуллі, розподіли Пуасона та Лапласа. Описано основні властивості інтегральної функції та густини розподілу ймовірностей, початкові та центральні моменти сукупності випадкових величин. Викладено центральну межову теорему теорії ймовірностей, розглянуто випадкові функції, енергетичний спектр стаціонарного процесу, формулу Вінера - Хінчина. Наведено математичний опис лінійних систем, проаналізовано сумісну дію сигналу та шуму на лінійну систему. Запропоновано методику узагальненого гармонійного аналізу детермінованих процесів, визначено оптимальні фільтри та корелятори.

Раскрыта сущность основных понятий теории вероятностей, охарактеризованы элементы теории случайных величин. Рассмотрены случайные события и величины, равномерное и биномное распределение, схема Бернулли, распределения Пуассона и Лапласа. Описаны основные свойства интегральной функции и плотности распределения вероятностей, начальные и центральные моменты совокупности случайных величин. Изложены граничная теорема теории вероятностей, рассмотрены случайные функции, энергетический спектр стационарного процесса, формула Винера - Хинчина. Изложено математическое описание линейных систем, проанализировано совместное действие сигнала и шума на линейную систему. Дана методика обобщенного гармонического анализа детерминированных процессов, определены оптимальные фильтры и корреляторы.

Висвітлено історію розвитку теорій ймовірностей і випадкових процесів, охарактеризовано елементи комбінаторики. Розглянуто приклади використання випадкових подій і величин для розв'язування економічних задач. Наведено відомості про ентропію й інформацію, випадкові функції та процеси, стохастичний оператор. Запропоновано методики моделювання неперервних марковських і скінченнозначних випадкових процесів. Розкрито можливості застосування методу функцій Ляпунова для розв'язання різницевих і диференціальних рівнянь. Визначено властивості стаціонарних випадкових процесів, розкрито сутність спектральної щільності та білого шуму. Описано напівмарковські випадкові процеси. Розглянуто системи нелінійних диференціальних і різницевих рівнянь з напівмарковською правою частиною.

Освещена история развития теории вероятностей и случайных процессов, охарактеризованы элементы комбинаторики. Рассмотрены примеры использования случайных событий и величин для решения экономических задач. Даны сведения об энтропии и информаци, случайных функциях и процессах, стохастическом операторе. Приведены методики моделирования непрерывных марковских и конечнозначимых случайных процессов. Раскрыты возможности применения метода функций Ляпунова для решения разностных и дифференциальных уравнений. Определены свойства стационарных случайных процессов, раскрыта сущность спектральной плотности и белого шума. Описаны полумарковские случайные процессы. Рассмотрены системы нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с полумарковской правой частью.

Розглянуто питання теорії ймовірностей (ТЙ), зокрема, елементи комбінаторики, комбінації (сполучення), статистичне означення ймовірності. Запропоновано класифікацію подій. Розкрито зміст понять ймовірності, вибірки, варіаційного та статистичного рядів, середньої арифметичної, дисперсії, геометричних ймовірностей, медіани статистичного ряду, асиметрії й ексцесу. Наведено закони розподілу неперервних випадкових величин (ВВ), великих чисел, розподілу дискретної ВВ, межові теореми ТЙ, центральну межову теорему за формулюванням А.М.Ляпунова для однаково розподілених ВВ, локальну формулу Муавра - Лапласа, інтегральну формулу Лапласа, формулу Пуассона.

Рассмотрены вопросы теории вероятности (ТВ), в частности, элементы комбинаторики, комбинации (соединения), статистическое определение вероятности. Предложена классификация событий. Раскрыто содержание понятий вероятности, выборки, вариационного и статистического рядов, средней арифметической, дисперсии, геометрических вероятностей, медианы статистического ряда, асимметрии и эксцесса. Приведены законы распределения непрерывных случайных величин (СВ), больших чисел, дискретной СВ, граничные теоремы ТВ, центральная граничная теорема по формулировке А.М.Ляпунова для одинаково распределенных СВ, локальная формула Муавра - Лапласа, интегральная формула Лапласа, формула Пуассона.