Викладено основні положення теорії двоїстості топологічних векторних просторів. Розглянуто теорему Гана - Банаха в аналітичній та геометричній формі та її наслідки про відокремлення опуклих множин. Охарактеризовано лінійні неперервні функціонали та їх продовження. Наведено методи відокремлення опуклих множин. Розкрито сутність дуальної пари, слабкої топології, поляра, топології рівномірної збіжності. Доведено теорему про біполяру, а також теореми Алаоглу - Бурбакі та Маккі - Аренса. Сформульовано теореми про відкрите відображення та замкнений графік як їх класичний варіант для повнометризованих просторів. Здійснено узагальнення, пов'язані з бочковими та ультрабочковими просторами та просторами Птака. Викладено теореми Еберлейна - Шмульяна та Крейна - Мільмана.

Изложены основные положения теории двоистости топологических векторных пространств. Рассмотрена теорема Гана - Банаха в аналитической и геометрической форме и ее последствия об отделении опуклых множеств. Охарактеризованы линейные беспрерывные функционалы и их продолжение. Приведены методы отделения опуклых множеств. Раскрыта сущность дуальной пары, слабой топологии, поляра, топологии равномерных совпадений. Приведена теорема о биполяре, а также теоремы Алаоглу - Бурбаки и Макки - Аренса. Сформулированы теоремы об открытом отображении и замкнутый график как их классический вариант для полнометризированных пространств. Проведены обобщения, связанные с бочковыми и ультрабочковыми пространствами и пространствами Птака. Приведены теоремы Эберлейна - Шмульяна и Крейна - Мильмана.

Висвітлено основи геометричної теорії банахових просторів. Увагу приділено теорії базисів у банахових просторах. Наведено конструкцію простору Цирельсона з повним доведенням його основних властивостей. Подано інформацію про базиси Гамеля та Шаудера, лінійні функціонали, гіперпідпростори та фактор-простори, критерій рефлексивності Джеймса простору з базисом, безумовні базиси, ситему Радемахера та нерівність Хінчина.

Наведено інформацію про лінійні неперервні оператори та функціонали в нормованих просторах. Розглянуто основні принципи лінійного функціонального аналізу та показано можливості їх застосування до таких питань аналізу, як мультиплікатори, методи підсумовування, проблема моментів, системи з нескінченним числом невідомих, збіжні послідовності та множини, базиси, матричні оператори. Увагу приділено теоремам Гана - Банаха про продовження лінійного неперервного функціонала з збереженням норми, функціям обмеженої варіації, обчисленню інтегралів Стілт'єса, теоремам про відкрите відображення та замкнений графік.

Дана информация о линейных непрерывных операторах и функционалах в нормированных пространствах. Рассмотрены основные принципы линейного функционального анализа и показаны возможности их применения к таким вопросам анализа, как мультипликаторы, методы подитоживания, проблема моментов, системы с бесконечным числом неизвестных, совпадающие последовательности и множества, базисы, матричные операторы. Уделено внимание теоремам Хана - Банаха о продлении линейного непрерывного функционала с сохранением нормы, функциям ограниченной вариации, вычислению интегралов Стилтьеса, теоремам об открытом отображении и замкнутом графике.

Висвітлено деякі питання лінійної алгебри та її геометричні застосування. Детально розглянуто лінійні рівняння, визначники, матриці, векторні простори, зокрема, евклідові та унітарні векторні й точкові простори, лінійні відображення. Особливу увагу приділено основам теорії груп (включно з основною теоремою про скінченнопороджені абелеві групи), модулям над кільцями, афіннним і проективним просторам (включно з основними ідеями Ерлангенської програми Клейна). Подано детальний опис лінійних функціоналів, лінійних операторів, білінійних, квадратичних й ермітових форм, теорії елементарних дільників.