Розкрито суть понять функціонала, функціональної похідної. Наведено просторові та геодезичні задачі варіаційного числення. Визначено необхідну умову існування екстремуму функціонала, достатню умову мінімуму, умову трансверсальності, крайові умови. Розглянуто особливості інваріантності рівняння Ейлера - Лагранжа відносно перетворення координат, охарактеризовано екстремальні принципи у фізиці.

Раскрыта сущность понятий функционала, функциональной произвольной. Приведены пространственные и геодезические задачи вариационного счисления. Определены необходимое условие существования экстремума функционала, достаточное условие минимума, условие трансверсальности, предельные условия. Рассмотрены особенности инвариантности уравнения Эйлера - Лагранжа относительно преобразования координат, охарактеризованы экстремальные принципы в физике.

Висвітлено основи теорії варіаційного числення, запропоновано розв'язки класичних задач (задач Лагранжа, Больца, ізопериметричних задач тощо). Наведено основні положення теорії оптимального керування, що базується на принципі максимуму Понтрягіна, який узагальнює принцип невизначених множників Лагранжа. За принципом максимуму та методом динамічного програмування розв'язано задачі Майера, Лагранжа, Больца, серед яких, зокрема, задача про посадку космічного апарата на поверхню Місяця та запуск штучного супутника Землі. Принцип максимуму Понтрягіна застосовано для аналізу економічної моделі Леонтьєва.

Освещены основы теории вариационного исчисления, предложены решения классических задач (задач Лагранжа, Больца, изопериметрических задач). Приведены основные положения теории оптимального управления, в основу которой положен принцип максимума Понтрягина, который обобщает принцип неопреленных множителей Лагранжа. По принципу максимума и методу динамического программирования решены задачи Майера, Лагранжа, Больца, среди которых, в частности, задача о посадке космического аппарата на поверхность Луны и запуск искусственного спутника Земли. Принцип максимума применен для анализа економической модели Леонтьева.

Висвітлено теорію першої варіації для найпростішої задачі варіаційного числення (ВЧ), задач з рухливими кінцями, зв'язаних задач ВЧ. На прикладі найпростішої задачі ВЧ досліджено другу варіацію, визначено достатні умови екстремуму, проаналізовано теорію Вейєрштрасса. Наведено приклади застосування ВЧ до розв'язання окремих задач механіки деформівного твердого тіла.

Освещена теория первой вариации для простейшей задачи вариационного счисления (ВС), задач с подвижными концами, связанных задач ВС. На примере простейшей задачи ВС исследована вторая вариация, определены достаточные условия экстремума, проанализирована теория Вейерштрасса. Приведены примеры применения ВС для решения отдельных задач механики деформированного твердого тела.

Розглянуто класичні варіаційні методи розв'язання екстремальних задач, що виникли та сформувались в основному в XVIII ст. завдяки працям Ньютона, Лейбніца, братів Бернуллі, Ейлера, Лангранжа та багатьох інших європейських математиків і фізиків. Описано необхідні умови екстремуму найпростіших функціоналів, наведено різні узагальнення. Висвітлено всі відомі достатні умови, до яких добрано відповідні приклади та задачі. Проаналізовано класичні варіаційні методи механіки. Наведено основні поняття аналітичної механіки аж до рівнянь Лагранжа. Розглянуто диференціальні й інтегральні варіаційні принципи класичної механіки, подано їх математичне оцінювання. Викладено прямі варіаційні методи та теорію оптимального керування, які виникли та набули розвитку у XX ст. Показано застосування принципу максимуму Понтрягіна в розробці математичної теорії оптимального керування, актуальної для розв'язання задач керування повітряними та космічними апаратами, складними технологічними процесами.

Розглянуто диференціальні рівняння, рівняння з частинними похідними, основи теорії стійкості та варіаційного числення. Подано інформацію про диференціальні рівняння закону попиту та пропозиції, властивості лінійного диференціального оператора, функцію Гріна, метод варіації довільної сталої. Розкрито особливості застосування диференціальних рівнянь в екології, економічних дослідженнях. Увагу приділено геометричній інтерпретації умов стійкості, частинним випадкам рівняння Ейлера, умовам трансверсальності.

Викладено основні положення варіаційного числення. Наведено приклади розв'язування варіаційних задач. Подано інформацію про варіаційні задачі на безумовний екстремум, поле екстремалей, достатні умови існування екстремуму функціонала, канонічні рівняння екстремалей. Увагу приділено варіаційним принципам механіки, варіаційним задачам у параметричній формі, умовам трансверсальності для деяких типів варіаційних задач, задачам оптимального керування.