Запроваджено узагальнені моментні зображення подвійних числових послідовностей. На основі цих зображень одержано інтегральні зображення сум рядів і розвинення в ряди значень інтегралів, а також інтегральні зображення розділених різниць аналітичних у колі функцій.

Наведено огляд методу узагальнених моментних зображень, запропонованого В. К. Дзядиком у 1981 р., та його застосувань до апроксимацій Паде. Зокрема, досліджено деякі властивості біортогональних поліномів і наведено ряд важливих прикладів. Розглянуто також застосування цього методу до сумісних апроксимацій Паде, апроксимацій Паде - Чебишева, Паде - Ерміта та двоточкових апроксимацій Паде.

Изучены свойства функций, связанных с некоторой симметричной проблемой моментов. В терминах этих функций получены достаточные условия разрешимости проблемы моментов.

Установлено умови існування узагальнених моментних зображень, запропонованих В. К. Дзядиком у 1981 р.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.514.2 + В192.151

Рубрики:

Проблема моментів

Квадратичні і кубаторні формули

Шифр НБУВ: Ж14648 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто узагальнені моментні зображення подвійних послідовностей комплексних чисел. Наведено способи побудови розглядуваних зображень, доведено теорему існування і єдиності. Встановлено інтегральні зображення твірних функцій послідовностей моментів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.494 + В161.514.2

Рубрики:

Проблема моментів

Проблема моментів

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Установлено критерії лінійної незалежності розв'язків узагальненої проблеми моментів. Описано способи знаходження величини радіуса круга аналітичності твірної функції послідовності узагальнених моментів для лінійно залежних систем розв'язків.

Досліджено узагальнені матриці Якобі, що асоційовані з покроковим процесом розв'язання індефінітної проблеми моментів. Вивчено прямі та обернені спектральні задачі для скінченних та нескінченних матриць. Описано теореми про локально рівномірну збіжність діагональних та парадіагональних апроксимацій Паде для функцій узагальненого класу Неванлінни.

Для стільтьєсівських матриць-функцій (МФ) поставлено та розв'язано узагальнену інтерполяційну задачу. Доведено збіг множини канонічних і множини N-екстремальних рішень I та II роду. Доведено критерій повної невизначеності межової інтерполяційної задачі у термінах збіжності двох рядів, елементи яких є ортогональними системами МФ. Узагальнено класичний критерій Стільтьєса невизначеності проблеми моментів у термінах збіжності двох рядів з додатковими членами. Узагальнено для матричного випадку теорему про експоненціальний тип резовельнтної матриці проблеми моментів Стільтьєса. Створено теорію інтерполяційних задач у класі Стільтьєса. Для неванліннівських МФ доведено узагальнений критерій Данжуа повної невизначеності межової інтерполяційної задачі. Запропоновано метод зведення вироджених задач до повністю невизначених. Надано повний опис можливих значень дефектних чисел симетричних операторів, породжених блочними матрицями Якобі. Узагальнено для матричного випадку результат М.Г.Крейна з проблеми моментів на компактному інтервалі.

Розвинуто та застосовано метод узагальнених моментних зображень, запропонований В.К.Дзядиком у 1981 р. Сформовано єдиний універсальний підхід до побудови та дослідження апроксимацій Паде та їх узагальнень для багатьох класів спеціальних функцій. Побудовано узагальнені моментні зображення для їх важливих класів. Вивчено загальні властивості біортогональних систем функцій. Досліджено перетворення біортогональних поліномів за певних перетворень лінійних операторів та початкових функцій, що генерують біортогональну систему. На цій підставі узагальнено властивості інваріантності апроксимацій Паде. Побудовано та вивчено апроксиманти Паде для ряду важливих спеціальних функцій, зокрема функцій Міттаг - Леффлера, що відіграють значну роль у теорії цілих функцій та доведено їх збіжність. Установлено загальні теореми, що дають змогу використовувати узагальнені моментні зображення для побудови та вивчення сумісних апроксимацій Паде, апроксимацій Паде - Чебишева та Паде - Ерміта і багатоточкових апроксимацій Паде. Побудовано та вивчено сумісні апроксиманти Паде наборів вироджених гіпергеометричних функцій, наборів функцій типу Міттаг - Леффлера та деяких наборів базисних гіпергеометричних рядів. Побудовано апроксиманти Паде - Чебишева для класу функцій, що є аналогом класу марковських функцій. Знайдено розв'язок проблеми характеризації послідовностей множників, що не збільшують кількості нулів дійсних алгебричних многочленів на скінченних відрізках дійсної осі.

Сформовано єдиний універсальний підхід щодо побудови та дослідження апроксимацій Паде й їх узагальнень для багатьох класів спеціальних функцій. Побудовано узагальнені моментні зображення для важливих класів спеціальних функцій. Вивчено загальні властивості біортогональних систем функцій. Досліджено перетворення біортогональних поліномів за певних перетворень лінійних операторів і початкових функцій. Побудовано та вивчено апроксиманти Паде для ряду важливих спеціальних функцій, а також сумісні апроксиманти Паде наборів вироджених гіпергеометричних функцій та наборів функцій типу Міттаг-Лефлера.

  Скачати повний текст

Одержано необхідні та достатні умови того, що сильна матрична проблема моментів Гамбургера має розв'язок. Описано всі розв'язки проблеми моментів. При цьому використано фундаментальні результати А. В. Штрауса про узагальнені резольвенти симетричних операторів.

Запропоновано аналог матриці Якобі, відповідний комплексній проблемі моментів у випадку експоненціальної форми і системи ортонормованих поліномів відносно деякої міри з компактним носієм на комплексній площині. Одержано пару матриць з блочною тридіагональною структурою, які діють в просторі двох індексних послідовностей як комутуючі самоспряжений і унітарний оператори. Випадки попередніх досліджень є частинними відносно описаного в роботі. Актуальними залишаються питання прямої спектральної задачі, а саме розв'язання системи різницевих рівнянь, утворених знайденими матрицями, та дослідження внутрішньої структури самих матриць, пошук умов на коефіцієнти, за яких відповідні матриці є комутуючими відповідно самоспряженим і унітарним операторами.

Вивчено зрізану матричну тригонометричну проблему моментів. Одержано параметризацію всіх розв'язків цієї проблеми (одночасно у невиродженому та виродженому випадках) за допомогою операторного підходу. Ця параметризація встановлює взаємно однозначну відповідність між деяким класом аналітичних функцій та всіма розв'язками задачі. При цьому використано важливі результати М. Є. Чумакіна про узагальнені резольвенти ізометричних операторів.

Метод обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка распространен на случай двумерных последовательностей и применен к построению аппроксимаций Паде функций двух переменных.

Метод узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика поширено на тривимірний випадок. Встановлено теореми про побудову раціональних апроксимант типу Паде для функцій трьох змінних. Одержано формули для похибок апроксимацій.

Досліджено питання побудови та вивчення апроксимант типу Паде для функцій багатьох змінних за допомогою методу узагальнених моментних зображень. Поширено метод узагальнених моментних зображень В. К. Дзядика на випадок багатовимірних числових послідовностей. Встановлено теореми про побудову раціональних апроксимацій для степеневих рядів двох та більшої кількості змінних. Побудовано та досліджено апроксиманти типу Паде для широких класів спеціальних функцій двох та багатьох змінних, зокрема, для гіпергеометричних рядів Аппеля, Гумберта та Лаурічелли. Доведено збіжність та встановлено асимптотичні рівності для чисельників та знаменників апроксимант типу Паде рядів Гумберта.

The article is devoted to a solution of the complex moment problem in the exponential form.