Проаналізовано умови існування інваріантних співвідношень у трьох задачах динаміки твердого тіла з нерухомою точкою. У першій задачі про рух тіла у полі потенційних і гіроскопічних сил, що описуються диференціальними рівняннями Д.Гріолі - М.П.Харламова, розв'язано пряму та зворотну задачі дослідження умов існування у рівняннях руху одного інваріантного співвідношення. У другій - про рух твердого тіла у силовому полі, яке є суперпозицією електричного, магнітного та ньютонівського полів, розглянуто умови існування у диференціальних рівнянях Г.Кірхгофа трьох інваріантних співвідношень спеціального виду. Одержано один новий розв'язок диференціальних рівнянь руху. У третій задачі про рух тіла у магнітному полі з урахуванням ефекту Бернетта - Лондона визначено умови існування поліноміальних розв'язків класу Стеклова - Горячева - Ковалевського. Знайдено три нових частинних розв'язки задачі. Досліджено умови існування трьох інваріантних співвідношень спеціального виду, наведено новий розв'язок рівнянь руху.