Розроблено нові схеми методу скінченних елементів (МСЕ) для розв'язання сингулярно збурених задач конвекції-дифузії. Для одновимірної крайової задачі конвекції-дифузії побудовано схему з кусково-показниковими базисними функціями, визначено достатню умову її стійкості, зроблено апріорне оцінювання швидкості збіжності й оптимальний вибір основи показникових функцій. Розроблено експоненціальну однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі початково-крайових задач для рівнянь параболічного типу. Запропоновано спосіб зведення варіаційної задачі конвекції-дифузії до еквівалентної задачі мінімізації квадратичного функціонала шляхом вибору простору тестових функцій методу Петрова - Гальоркіна. Розроблено простий для програмної реалізації алгоритм генерування близьких до рівномірних тріангуляцій двовимірних областей. Запропоновано способи побудови апостеріорних оцінювачів похибки МСЕ на підставі розв'язання одно- та двовимірних локальних задач на похибку. На підставі запропонованих оцінювачів реалізовано h-адаптивну схему МСЕ з використанням стійких експоненціальних апроксимацій. Розроблено програмне забезпечення нових методів й експериментально підтверджено їх ефективність.

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено нові математичні моделі (для одно- та двовимірного випадків) стаціонарних процесів дифузії та фільтрації рідини в анізотропних областях складної конфігурації, які містять довільно орієнтовані в просторі тонкі включення/тріщини. Запропоновано нові класичні еквівалентні узагальнені задачі, які визначені на класах розривних функцій, в основних ортогональних системах координат (декартовій, циліндричній, полярній), доведено теореми існування та єдиності узагальнених розв'язків отриманих задач. Розроблено високоточні обчислювальні алгоритми методу скінчених елементів (МСЕ) для числового розв'язування змішаних крайових задач з умовами спряження неідеального контакту та створено на їх основі ефективну діалогову систему автоматизованого розрахунку дифузійних процесів в багатокомпонентних середовищах. Одержано оцінки похибок наближених розв'язків. Побудовано нову варіаційну задачу з єдиним узагальненим розв'язком про формування температурного поля у вузлі тертя. На основі об'єктно-орієнтованого програмування та розроблених високоточних обчилювальних алгоритмів МСЕ створено та програмно реалізовано автоматизовану систему DIFUS діалогового моделювання задач з умовами спряження. За допомогою системи DIFUS розв'язано модельні приклади та практичні задачі.

  Скачати повний текст

Доведено апроксимаційні теореми щодо дискретних лінійної та квадратичної спектральних задач стійкості пологих оболонок та задачі на власні значення гармонічних коливань пологих оболонок. Встановлено порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів лінійної спектральної задачі та квадратичної спектральної задачі стійкості пологих оболонок, а також порядок швидкості збіжності власних значень і власних векторів спектральної задачі гармонічних коливань пологих оболонок. Проведено числові розрахунки модельних задач, аналіз яких підтверджує теоретичні висновки.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розроблено алгоритми обчислювального розв'язання варіаційних нерівностей як моделей односторонніх процесів на основі методу функціональної параметризації для негладких функціоналів відповідності або таких, що набувають значення нескінченності за рахунок субградієнтного та пароксимаційного підходів. Модифіковано схему методу перерізів розв'язання скінченоелементних моделей, що дозволяє скоротити запити накладної пам'яті у кількість разів, що приблизно дорівнює числу елементів у вихідній матриці вузлів. Запропоновано новий спосіб адаптивної генерації сітки дискретизації, який діє у поєднанні з алгоритмом відновлення невідомої функції перешкоди або односторонньої провідності. Розроблено алгоритм керування односторонніми процесами з "жорскими" односторонніми властивостями. Розв'язано задачу моделювання та керування процесом фільтрації нафти з граничним градієнтом тиску, який формалізовано у вигляді варіаційної нерівності з негладким функціоналом відповідності. Для моделювання даного процесу розроблено програмне забезпечення.

  Скачати повний текст

Досліджено інтеграційні алгоритми побудови скінченно-елементного базису за наближеного розв'язання рівняння Пуассона (задачі Діріхле) та бігармонічного рівняння (крайових умов II роду) методом скінченних елементів для полігональних областей з прямими вхідними та вихідними кутами. З використанням нових підходів одержано необхідні умови екстремуму функціоналу енергії відповідних задач. Досліджено властивості інтеграційних алгоритмів побудови наближених розв'язків під загальною назвою "фліп - флоп". Одержано апостеріорні оцінки величин, що відбивають зменшення квадрата похибки в енергетичній нормі на кожному етапі інтеграційного процесу. Для окремих випадків розбиття прямокутної області одержано деякі апріорні властивості наближених розв'язків, що будуються у відповідності з даними алгоритмами. Проведено числові експерименти на тестових прикладах, що демонструють високу точність запропонованих алгоритмів.

  Скачати повний текст

Для моделей, що описуються рівняннями псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів і рівняннями С.Л.Соболєва, побудовано теорію узагальненої оптимізації та необхідні числові методи. Для указаних моделей отримано апріорні оцінки з негативними нормами. Доведено теореми узагальненого розв'язання граничних задач. Знайдено явний вигляд градієнта та досліджено гладкість функціонала якості в задачі оптимізації з загальними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати градієнтні наближені методи. Вивчено питання збіжності та обчислювальної стійкості наближених методів оптимізації градієнтного типу. Побудовано аналоги методу Гальоркіна для наближеного розв'язання псевдопараболічних і псевдогіперболічних граничних задач, а також доведено їх сильну збіжність.

  Скачати повний текст

Досліджено сингулярно збурені варіаційні задачі міграції домішок у нестисливому середовищі та створено схеми методу скінченних елементів для їх розв'язання. Побудовано оцінки констант неперервності та еліптичності білінійних форм варіаційної задачі у термінах норм фізичних характеристик даних задачі та здійснено аналіз чутливості розв'язків до їх збурень у термінах критеріїв подібності. Знайдено апріорні оцінки похибки розв'язків дискретизованих задач, побудованих на базі методу скінченних елементів і класичних схем Гальоркіна. На основі принципу мінімізації нев'язки рівняння на кожному скінченному елементі розроблено стабілізовану схему локалізованих найменших квадратів. Запропоновано апостеріорні оцінювачі похибок апроксимації методу скінченних елементів, на базі яких сконструйовано h-адаптивну схему, що грунтується на рівномірному розподіленні похибки між скінченними елементами триангуляції. Екфективність запропонованих схем продемонстровано прикладами розв'язування сингулярно збурених крайових задач міграції домішок.

  Скачати повний текст