Скачати повний текст

Дисертацію присвячено розвитку теорії диференціальних та псевдодиференціальних операторів на нескінченновимірних многовидах. Головна увага приділяється розвитку ймовірнісного підходу до еліптичних диференціальних операторів на нескінченних продакт-многовидах та асимптотичним методам дослідження псевдодиференціальних операторів з символами на гільбертовому просторі (або многовиді). Зокрема, побудовані фелерові півгрупи, що асоційовані з операторами Діріхле гіббсівських мір на продакт-многовидах. Побудовано символьне числення для важливого класу псевдодиференціальних операторів з гільбертовим фазовим простором та квазікласичні розв'язки відповідних рівнянь Шредінгера. Побудовано функтор асимптотичного квантування класу нескінченновимірних симплектичних многовидів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу Соболева, у якій граничні умови задано лінійними диференціальними виразами на багатовидах різних розмірностей. Досліджено у повних банахових шкалах еліптичну, еліптичну з параметром і параболічну задачі Соболева для одного рівняння та системи структури Дугліса - Ніренберга. Для них одержано умови існування узагальненого розв'язку та доведено теореми про повний набір ізоморфізмів.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження вироджених нелінійних різницевих рівнянь у банахових просторах. Побудовано обмежений напівінваріантний многовид та наближене відшукання періодичних розв'язків рівнянь вказаного типу. Знайдено достатні умови продовжуваності "вліво" розв'язків нелінійних вироджених рівнянь першого та m-го порядків у абстрактному банаховому просторі. Для випадку відсутності можливості продовжити "вліво" розв'язки вказаних рівнянь потрібним чином побудовано відповідні збурені рівняння. Досліджено питання існування періодичних розв'язків нелінійних різницевих рівнянь першого та другого порядку в абстрактному банаховому просторі та запропоновано нову методику наближеної побудови даних розв'язків. Наведено приклади лінійних різницевих рівнянь першого та другого порядків у просторі m, для яких існують такі початкові значення, що періодичні розв'язки побудованих на їх основі збурених рівнянь одержано за допомогою граничного переходу у сенсі норми простору m з послідовності періодичних розв'язків відповідних збурених укорочених рівнянь.

  Скачати повний текст

Наведено необхідні та достатні умови існування та єдиності обмеженого на осі розв'язку лінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу в банаховому просторі за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто й узагальнено деякі факти теорії узагальнених функцій повільного зростання на випадок операторно значних основних функцій. Запропоновано конструкцію регулярних узагальнених функцій зі значеннями у банаховому просторі. Отримані результати застосовано для опису повільно зростаючих розв'язків лінійного диференціального рівняння з одним зсувом аргументу та обмеженим операторним коефіцієнтом у випадку невиконання необхідних і достатніх умов існування і єдиності обмеженого розв'язку. Одержано достатні умови існування обмеженого розв'язку нелінійного диференціального рівняння зі зсувами аргументу у випадках обмеженого та необмеженого операторного коефіцієнта за умови обмеженості правої частини рівняння. Розглянуто функціональну область розв'язку. Наведено умови, за яких існує кілька різних обмежених розв'язків рівняння.

  Скачати повний текст