Вперше визначено та детально досліджено відображення зсуву векторного поля (його ядро, образ, властивість бути локальним гомеоморфізмом), а також питання, коли зсув є дифеоморфізмом. Для векторних полів на компактних многовидах, які є лінійними в околі кожної своєї особливої точки та задовольняють деякі глобальні топологічні умови, вперше доведено, що тотожна компонента зв'язності групи дифеоморфізмів, які залишають інваріантними орбіти цього поля, є або стягуваною, або гомотопічно еквівалентною до кола. Для гладких функцій з однорідними особливостями з компактної поверхні в пряму та коло вперше обчислено гомотопічний тип стабілізаторів та орбіт цих функцій відносно правої дії групи дифеоморфізмів поверхні. Одержано нове доведення теореми класифікації компонент зв'язності простору функцій Морса з компактної поверхні в пряму та коло, що є локально постійними на межі.

  Скачати повний текст

Дисертаційна робота присвячена дослідженню дискретних симетрій гладких функцій з ізольованими критичними точками на орієнтовних компактних поверхнях. Основну увагу в роботі приділено групам автоморфізмів графів Кронрода-Ріба функцій індукованих дифеоморфізмами, які зберігають функцію та ізотопні до тотожного відображення.Об'єктом дослідження є гладкі функції на компактних поверхнях з локально-однорідними особливостями (зокрема, функції Морса), а також графи Кронрода-Ріба таких функцій.В роботі отримано теореми реалізації скінченних груп як груп автоморфізмів графів Кронрода-Ріба для різних класів гладких функцій (простих функцій Морса, функцій Морса загального положення, довільних функцій Морса, а також функцій з локально-однорідними особливостями) на компактних орієнтовних поверхнях. В роботі використовуються методи топології (загальної, алгебраїчної, геометричної, диференціальної), а також алгебри та дискретної математики.Результати дисертації носять теоретичний характер. Отримані в ній результати можуть бути використані в дослідженнях з топології, алгебри, математичної фізики та інших галузей знань, методи яких базуються на топологічних властивостях гладких функцій.^UThe dissertation is devoted to the study of discrete symmetries of smooth functions with isolated critical points on orientable compact surfaces.The paper focuses on groups of automorphisms of Kronrod-Reeb graphs of functions induced by diffeomorphisms, which preserving function and isotopic to the identity.The object of the study is smooth functions on compact surfaces with locally homogeneous singularities (in particular, Morse functions), as well as Kronrod-Reeb graphs of such functions.Theorems of realization of finite groups as groups of automorphisms of Kronrod-Reeb graphs for different classes of smooth functions (simple Morse functions, Morse functions of general position, arbitrary Morse functions, as well as functions with locally homogeneous singularities) on orientable compact surfaces are obtained. The methods of topology (general, algebraic, geometric, differential), as well as algebra and discrete mathematics are used in the work.The results of the dissertation are theoretical. They can be used in further research in topology, algebra, mathematical physics and other branches of since, whose methods are based on topological properties of smooth functions.