Дисертацiйну роботу присвячено вивченню дробових моделей фiнансової математики та розв'язанню пов'язаних з ними статистичних задач. Зокрема дослiджено дробову модель Васiчека та модель змiшаного дробового броунiвського руху з трендом.В природi iснує багато рiзноманiтних явищ, якi можуть бути представленi як процеси випадкової еволюцiї в часi. Традицiйно для математичного моделювання таких часових рядiв використовують стандартний броунiвський рух. Однак, рiзнi дослiдження показали, що деякi процеси демонструють властивостi самоподiбностi, довгострокової залежностi та мають складнi структури кореляцiй. Використання дробового броунiвського руху дозволяє маделювати такi процеси, оскiльки вiн має корельованi прирости, якi дають короткострокову залежнiсть при iндексi Хюрста меншому за 1/2 та довгострокову залежнiсть при iндексi Хюрста бiльшому за 1/2.Iмовiрнiсна модель, запропонована у 1977 роцi О. Васiчеком (O. Vasicek) для опису еволюцiї вiдсоткової ставки, знайшла широке застосування не лише в економiцi та фiнансовiй математицi, а й у багатьох iнших галузях. Для моделювання процесiв з властивiстю довгострокової залежностi, якi виникають у фiнансах, економiцi, гiдрологiї та телекомунiкацiях, було запропоновано узагальнення цiєї моделi, дробову модель Васiчека, яка вивчалась у роботах P. Cheridito et al. (2003), F. Comte et al. (2012), W. Xiao et al. (2014) та iнших.Наразi теорiя параметричного оцiнювання добре розвинена в частковому випадку моделi з одним невiдомим параметром. Див., наприклад, роботи M. Kleptsyna and A. Le Breton (2002), Y. Mishura (2008), Y. Hu and D. Nualart (2010), K. Es-Sebaiy (2013), K. Tanaka (2013), K. Kubilius et al. (2015), Y. Kozachenko et al. (2015), K. Kubilius et al. (2017), A. Kukush et al. (2017).Однак в прикладних задачах виникає потреба в бiльш гнучкiй двопараметричнiй моделi. Вiдповiднi дослiдження були проведенi Y. Kutoyants (2004), але для класичної моделi Васiчека, породженої процесом Вiнера.У дисертацiйнiй роботi розглядається задача оцiнювання для дробової моделi Васiчека з двома невiдомими параметрами.Для дробової моделi Васiчека побудовано так званi оцiнки ергодичного типу як для неперервних, так i для дискретних спостережень траєкторiї процесу. В обох випадках доведена їх строга консистентнiсть. Для дискретного випадку проведено чисельне моделювання наведених оцiнок.Окрiм цього, за непервних спостережень для невiдомих параметрiв побудовано оцiнки максимальної вiрогiдностi: для кожного параметра окремо, коли iнший вважається вiдомим, та векторна оцiнка для одночасного оцiнювання. Доведено консистентнiсть та знайдено асимтотичнi розподiли представлених оцiнок. Встановлено важливий факт асимптотичної незалежностi оцiнок максимальної вiрогiдностi для двох невiдомих параметрiв.У дисертацiї також розглядається модель змiшаного дробового броунiвського руху з трендом. Ця модель, введена в P. Cheridito (2001), застосовується, наприклад, у моделюваннi трафiку комп'ютерної мережi та бiльш широко у фiнансах.Проблема оцiнювання параметрiв у змiшаному дробовому броунiвському русi без тренду вивчалася в декiлькох роботах, наприклад, M. Dozzi et al. (2015), D. Filatova (2008), W.-L. Xiao et al. (2011), P. Zhang et al. (2014).У статтi C. Cai et al. (2012) розглядалося оцiнювання параметра зсуву, припускаючи, що iндекс Хюрста та коефiцiєнт при вiнерiвському процесi вiдомi, а коефiцiєнт при дробовому броунiвському русi дорiвнює 1. Зауважимо, що цей пiдхiд потребує знання розв'язку iнтегрального рiвняння. Тому цю оцiнку важко дискретизувати, а особливо складно адаптувати її до випадку невiдомих iндекса Хюрста та коефiцiєнта при вiнерiвському процесi.Наскiльки нам вiдомо, одночасне оцiнювання усiх чотирьох параметрiв моделi змiшаного дробового броунiвського руху з трендом вивчалося лише в J. Dufitinema et al. (2020), але з трохи iншою параметризацiєю.Оцiнювання параметра зсуву в аналогiчних моделях iз бiльш загальними шумами вивчалось у роботах Y. Mishura et al. (2015–2018).У дисертацiйнiй роботi дослiджується два пiдходи до одночасного оцiнювання усiх чотирьох параметрiв моделi змiшаного дробового броунiвського руху з трендом.Перший — бiльш класичний. У ньому спочатку доводиться строга консистентнiсть та асимптотична нормальнiсть вiдомої оцiнки параметра зсуву. Потiм у неї пiдставляються строго консистентнi оцiнки iнших параметрiв, якi основанi на квадратичних варiацiях. Доведено строгу консистентнiсть отриманої оцiнки. Однак, даний пiдхiд має певнi обмеження. Тому розроблено новий пiдхiд на основi ергодичної теореми. Вiн дозволяє одночасно оцiнити усi невiдомi параметри за куди бiльш загальних умов. У роботi доведено строгу консистентнiсть побудованих оцiнок. Також отримано асимптотичну нормальнiсть оцiнки параметра зсуву. Пiсля цього проведено порiвняння ефективностi двох оцiнок для параметра зсуву.Наведено результати чисельного моделювання усiх оцiнок, побудованих двома методами.^UThe thesis is devoted to the study of fractional models of financial mathematics and the solution of related statistical problems. In particular, the fractional Vasicek model and the mixed fractional Brownian motion with trend were investigated.Nature is full of various phenomena which can be represented as processes with random evolution through time. Traditionally a standard Brownian motion is used to mathematically model such time series. However, different studies have shown that some processes exhibit self-similarity, long-range dependence and complex correlation structures. Usage of fractional Brownian motion allows to model such processes, since it has correlated increments which imply short-range dependence for Hurst index less than 1/2 and long-range dependence for Hurst index greater than 1/2.Probabilistic model, proposed in 1977 by O. Vasicek for modeling interest rates, is widely used not only in economics and financial mathematics, but also in many other fields. To model processes with long-range dependence property that arise in finance, economics, hydrology and telecommunications, a generalization of this model, fractional Vasicek model, was proposed. It was studied in P. Cheridito et al. (2003), F. Comte et al. (2012), W. Xiao et al. (2014) and others.Currently, theory of parametric estimation is well developed in the partial case of the model with one unknown parameter. See e. g. M. Kleptsyna and A. Le Breton (2002), Y. Mishura (2008), Y. Hu and D. Nualart (2010), K. Es-Sebaiy (2013), K. Tanaka (2013), K. Kubilius et al. (2015), Y. Kozachenko et al. (2015), K. Kubilius et al. (2017), A. Kukush et al. (2017).However, in applied problems there is a need for a more flexible two-parameter model. Relevant studies were conducted by Y. Kutoyants (2004), but for a classical Vasicek model driven by Wiener process.In the thesis the study of estimation problem for the fractional Vasicek model with two unknown parameters is considered. For the fractional Vasicek model so called ergodic type estimators are constructed for both continuous and discrete trajectories of the process. In both cases strong consistency of estimators is proved. Numerical simulation of the ergodic type estimators is performed for the discrete case.In addition, maximum likelihood estimators of unknown parameters are constructed in the case of continuous observations: the estimators of each parameter when another one is assumed to be known, and the estimator of vector parameter for simultaneous estimation. For considered estimators consistency is proved and their asymptotic distributions are found. The important fact of asymptotic independence of maximum likelihood estimators for two unknown parameters is established.The thesis is also devoted to the study of the mixed fractional Brownian motion with trend. This model, which was introduced in P. Cheridito (2001), found its applications, e.g., in computer network traffic modelling and more widely in finance.Parameter estimation problem in the mixed fractional Brownian motion without trend was studied e. g. in M. Dozzi et al. (2015), D. Filatova (2008), W.-L. Xiao et al. (2011), P. Zhang et al. (2014).C. Cai et al. (2012) considered estimation of the drift parameter assuming that Hurst index and coefficient by the Wiener process are known and coefficient by the fractional Brownian motion equals 1. Notice that this approach requires to know the solution to an integral equation. Hence, it is difficult to discretize the estimator, and especially, to adapt it to the case of unknown Hurst index and coefficient by the Wiener process.To the best of our knowledge, simultaneous estimation of all four parameters of the mixed fractional Brownian motion with trend was studied only in J. Dufitinema et al. (2020), but with a slightly different parametrization.Estimation of drift parameter in similar models with more general noises was studied in papers Y. Mishura et al. (2015–2018).In the thesis two approaches to simultaneous estimation of all four parameters of the mixed fractional Brownian motion with trend are investigated.The first algorithm is more traditional. First, strong consistency and asymptotic normality of known estimator of the drift parameter are proved. Then, it's components are replaced by strongly consistent estimators of other parameters, which are based on quadratic variations. Strong consistency of obtained plug-in estimator is proved. However, this approach has several limitations. Therefore, a new approach based on the ergodic theorem is developed. It allows to estimate simultaneously all unknown parameters under much more general conditions. In the thesis, strong consistency of constructed estimators is proved. Also asymptotic normality of the estimator of the drift parameter is established. Finally, effectiveness of both estimators of the drift parameter is compared.Results of numerical simulations for all estimators constructed by two methods are shown.