Досліджено задачу існування гіпершарувань з обмеженнями на кривину шарів. Визначено нові класи шарувань: гіперболічні, параболічні та еліптичні. Відзначено, що клас параболічних шарувань не належить до класу жорстких. Доведено, що компактні багатовиди позитивної кривини не допускають гіпершарувань невід'ємної кривини Річчі.

  Скачати повний текст

Вивчено комбінаторні та геометричні властивості інваріантів Васильєва вузлів і певних класичних інваріантів вузлів, а саме: роду, канонічного ряду, рейд-індексу, а також співвідношення між ними. Знайдено співвідношення між інваріантами скінченного порядку вузлів і сплетень і сателітними операціями. Установлено зв'язок між n-тривіальністю та перебудовною n-тривіальністю вузлів. Показано роль спеціальних поверхонь Зайферта під час дослідження геометричних аспектів інваріантів скінченного порядку вузлів. Наведено комбінаторно-геометричний опис суттєвих торів стандартного положення у доповненні до замкнених кіс, які допускають литкові покриття. У термінах сингулярних шарувань описано також їх комбінаторні моделі. Побудовано у комбінаторних термінах повний топологічний інваріант градієнтно-подібних шарувань на орієнтовних поверхнях. Такий варіант зумовлює топологічну класифікацію шарувань зазначеного типу та може бути використаний у задачах комбінаторного та обчисленого характеру.

  Скачати повний текст

Досліджено зовнішні та внутрішні геометричні властивості двовимірних розподілень на замкнених тривимірних многовидах. Висвітлено питання існування метрики щодо якої секційна (гауссова) кривини контактної структури будуть заданими гладкими функціями на многовиді. Одержано формули, що описують зміну секційної, гауссової та зовнішньої кривин за умови деформації метрики уздовж поля нормалей. Доведено, що будь-яка строго негативна функція може бути реалізована як секційна (гауссова) кривина контактної структури. Доведено, що умовою забезпечення сильної сідлової достатності двовимірного розподілення є існування трансверсальної до нього контактної структури. Зроблено висновок, що будь-яка контактна структура з рівним нулю класом Ейлера є сильно сідловою. Розглянуто питання існуваня сильно сідлових і параболічних шарувань на тривимірних многовидах. Доведено, що на кожному замкненому орієнтованому тривимірному многовиді існують сильно сідлові та параболічні шарування. Показано, що будь-яка трансверсально орієнтована контактна структура на замкненому тривимірному многовиді є параболічною.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу топологічної класифікації функцій та динамічних систем на маловимірних многовидах. З застосуванням методів теорії розкладів та ручки Смейда побудовано повні топологічні інваріанти - розрізняючі графи, еквівалентність яких легко перевірити. Відзначено, що одержані результати дослідження повною мірою розв'язують проблему топологічної класифікації векторних полів Морса - Смейла та функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах і на двовимірних і тривимірних многовидах з краєм (m-поля та m-функції) та більш загальних об'єктів: функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, замкнених L-форм Морса на замкнених поверхнях, відображень Уітні замкненої поверхні на площину. Ефективність побудованих класифікацій продемонстровано на прикладах підрахувань числа топологічно нееквівалентних об'єктів з заданими властивостями. Доведено теорему про суму індексів потоку на стратифікованій множині.

  Скачати повний текст