Скачати повний текст

Наведено результати дослідження для класу операторів Штурма -Ліувілля на півосі з нелокальною граничною умовою та експоненційноспадним комплексно-значним потеціалом. Запропоновано критерій скінченності множини власних значень і спектральних особливостей, а також необхідні і достатні умови розв'язності у випадках, коли спектральний параметр співпадає зі спектральною особливістю. Надано двосторонні оцінки для значень експоненційної функції операторів та її норми, оцінки розв'язків відповідних еволюційних рівнянь. Доведено, що для операторів продовження резольвенти з точністю до одновимірного доданку є псевдорезольвентною в деякому банаховому просторі. Одержано подібність операторів, які мають однакові (з кратностями) набори спектральних особливостей. Розв'язано рівняння теплопровідності на півосі, що зберігають просторову асимптотику.

  Скачати повний текст

Дисертація присвячена розробці теорії і методів розв'язування оберненої задачі логарифмічного потенціалу зірчастих областей з відомою густиною, близьких до круга або шару постійної товщини. Виведено нелінійні інтегральні рівняння з компактними операторами для визначення контурів збурюючих тіл поблизу заданих. Доведено локальні теореми існування і стійкості розв'язків. Запропоновано ефективний спосіб розв'язку нелінійних інтегральних рівнянь. Глобальний регуляризуючий оператор для кожного з них розшукується у вигляді послідовності локальних регуляризуючих операторів для відповідних лінійних інтегральних рівнянь з компактними невід'ємними операторами. Для визначення правих частин цих рівнянь розроблено спеціальні адаптивні процедури згладжування вихідних даних.

  Скачати повний текст

Встановлено взаємозв'язок між дослідженням достатніх критеріїв стійкості взаємодії нескінченних систем та класичною теорією мінімізуючих мір у теорії потенціалу. Проведено огляд основних результатів у сучасній теорії потенціалу. Одержано нові достатні критерії стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості для взаємодії, що визначається двочастинковим потенціалом. Установлено точні значення констант та їх залежності від параметрів, що характеризують потенціал взаємодії. Одержано достатній критерій стійкості, надстійкості та посиленої надстійкості у випадку багаточастинкової взаємодії. Проаналізовано приклад сім'ї багаточастинкових потенціалів, яка визначає надстійку взаємодію та має безпосереднє застосування в молекулярній фізиці. Введено принципово нове поняття квазігратчастої апроксимації неперервних систем для тиску, кореляційних функцій в обмеженому об'ємі та кореляційних функцій нескінченних систем. Доведено, що за умови посиленої надстійкості взаємодії ці нові введені функції з будь-яким ступенем точності наближають класичні тиск, кореляційні функції в обмеженому об'ємі та кореляційні функції нескінченних систем (останній результат - лише для достатньо малих значень хімічної активності z).

  Скачати повний текст

Обгрунтовано метод фіктивних областей у задачах оптимального керування для еліптичних операторів другого, четвертого порядків та варіаційних нерівностей другого порядку з обмеженням усередині області. Для цих задач побудовано різницеві схеми та досліджено їх точність. Запропоновано різницеві схеми для дослідження математичних моделей стаціонарних процесів в областях довільної форми, які описуються крайовими та спектральними задачами для еліптичних операторів другого, четвертого порядків. Досліджено точність нових різницевих схем у крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого порядку з розривними коефіцієнтами за мінімальних вимог до гладкості розв'язків диференціальної задачі. Одержано нові теоретичні результати стосовно гладкості узагальнених розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого та четвертого порядків. Проведено повне обгрунтування екстраполяційного методу Річардсона в крайових та спектральних задачах для еліптичних операторів другого, четвертого порядків у випадку узагальнених розв'язків.

  Скачати повний текст

Установлено інтегральні зображення узагальненого вісесиметричного потенціалу через аналітичні функції комплексної змінної, задані у довільній симетричній відносно дійсної осі однозв'язній області. Установлено достатні умови неперервного продовження інтегральних зображень узагальненого вісесиметричного потенціалу на межі області й одержано оцінку локального модуля неперервності їх межових значень.

  Скачати повний текст

Досліджено крайові та мішані задачі для диференціальних рівнянь з частинними похідними в кусково-однорідних середовищах. Запроваджено новий клас інтегральних і гібридних інтегральних перетворень типу Мелера - Фока, породжених узагальним диференціальним оператором Лежандра. Розглянуто новий клас інваріантних диференціальних рівнянь з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення точних розв'язків крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу другого порядку в кусково-однорідних циліндричних і сферичних середовищах. Аналогічні теореми одержано у випадку мішаних задач у даних середовищах для диференціальних рівнянь параболічного типу другого порядку. Побудовано інтегральні перетворення типу Мелера - Фока для однорідних і кусково-однорідних середовищ, породжених узагальненим диференціальним оператором Лежандра другого порядку, обгрунтовано можливості їх застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та задачах математичного аналізу. Доведено теореми про інтегральні зображення дельта-функції Дірака, запроваджено нові класи інтегральних перетворень з невідокремленими змінними типу Бохнера - Лежандра та Бохнера - Шестопала в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах. Доведено теореми про інтегральні зображення фундаментальних розв'язків задачі Коші для інваріантних рівнянь параболічного та гіперболічного типів та фундаментального розв'язку для інваріантних рівнянь еліптичного типу з узагальненим оператором Лежандра в однозв'язних областях евклідового простору та на ріманових многовидах.

  Скачати повний текст

Досліджено повідінку розв'язків крайових задач в областях межі особливості типу ребер. Отримано апріорні оцінки сильних розв'язків задачі Діріхле для лінійного еліптичного недивергентного рівняння, мішаної задачі для лінійного недивергентного рівняння другого порядку, задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння та слабого розв'язку задачі Діріхле для квазілінійного дивергентного рівняння в області з ребрами на межі. Доведено теореми існування розв'язку у вагових просторах для задачі Діріхле та змішаної задачі для лінійного рівняння, а також задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння.

  Скачати повний текст

Побудовано класи коректної розв'язності основних крайових задач для параболічних та еліптичних рівнянь з особливостями та виродженнями. Досліджено параболічні рівняння другого порядку зі степеневими особливостями довільного порядку за часовою зміною у фіксований момент часу, та довільними просторовими змінними на деякій множині точок усередині області або на бічній межі, а також з нелокальною умовою за часовою змінною. Для даних рівнянь доведено коректну розв'язність першої крайової задачі, а також задачі з косою похідною, односторонньої крайової задачі та нелокальної задачі Коші. Встановлено коректну розв'язність задачі Діріхле, задачі з косою похідною та односторонньої крайової задачі для еліптичних рівнянь другого порядку з будь-якими степеневими особливостями за довільними змінними на межі області або на деякій множині усередині області. Результати дослідження застосовано до задач оптимального керування системами, що описуються параболічними крайовими задачами у випадках внутрішнього, граничного та фінального керування.

  Скачати повний текст

Висвітлено питання побудови мінімаксних середньоквадратичних оцінок для функціоналів залежно від розв'язків крайових задач для еліптичних рівнянь другого порядку та диференціальних рівнянь за спостереженнями, що використовують інформацію про самі розв'язки та про їх похідні. За результатами досліджень задачі мінімаксного оцінювання зведено до спеціальних задач оптимального керування спряженими рівняннями з квадратичними критеріями якості у разі обмежень і без обмежень на керування. Доведено теореми про загальний вигляд мінімаксних оцінок фунціоналів і знайдено похибки оцінювання. Встановлено, що ці оцінки визначаються через розв'язки деяких систем диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь з частинними, або звичайними похідними, для яких доведено їх однозначну розв'язність.

  Скачати повний текст

Розглянуто алгебрично-аналітичний метод дослідження просторових потенціальних полів з осьовою симетрією за допомогою моногенних функцій, які набувають значення в деякій нескінченновимірній комутативній банаховій алгебрі, що дає часткове розв'язання окресленої М.Лаврентьєвим проблеми розробки методів дослідження просторових потенціальних полів, аналогічних методам теорії аналітичних функцій комплексної змінної. Розроблено функціонально-аналітичний метод розв'язання крайових задач в меридіанній площині просторового потенціального поля з осьовою симетрією, що дозволив редукувати задачі Діріхле для вісесиметричного потенціалу та функції течії Стокса до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду. Узагальнено теорію Ф.Нетера сингулярних інтегральних рівнянь та встановлено загальні результати про стійкість властивостей нетеровості та індексу операторів у неповних топологічних векторних просторах.

  Скачати повний текст

Запропоновано новий операторний метод дослідження задач спряження, що дає змогу всі досліджені задачі звести до єдиного вигляду. Вивчено абстрактні задачі спряження, які узагальнюють задачі спряження для рівняння Гельмгольца. Досліджено абстрактний двопараметричний операторний жмуток, асоційований з задачами спряження, у якому один з параметрів вважається фіксованим, а другий - спектральним, а також задачі спряження для загальних еліптичних рівнянь, рівнянь лінійної теорії пружності (рівняння Ламе) і лінійної гідродинаміки (рівняння Стокса). Вивчено початково-крайові проблеми, що породжують задачі спряження.

  Скачати повний текст