Надано опис скінченновимірних розв'язних алгебр Лі над алгебрично замкненим полем характеристики нуль, в яких доповнювані всі одновимірні ідеали. Показано, що для таких алгебр Лі умова доповнюваності всіх одновимірних ідеалів еквівалентна умові доповнюваності всіх підалгебр. Описано будову скінченновимірних нерозв'язних алгебр Лі, в яких доповнювані всі ідеали. Знайдено необхідні умови доповнюваності всіх ідеалів в FC-алгебрах Лі над алгебрично замкненим полем характеристики нуль.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розроблено теоретичні засади вивчення контракцій алгебр Лі над дійсним і комплексними полями. Сформульовано поняття еквівалентності контракцій. Доведено теорему, що містить перелік необхідних критеріїв існування контракцій низькорозмірних алгебр Лі. Побудовано важливі приклади, які спростовують відомі гіпотези та твердження, а також дають підстави для формулювання нових гіпотез. Сформульовано алгоритми знаходження контракцій скінченновимірних алгебр Лі й описано всі слабонееквівалентні контракції дійсних і комплексних низькорозмірних алгебр Лі. З використанням одержаних результатів досліджено рівні та ко-рівні множин низькорозмірних алгебр Лі відносно контракцій. Знайдено всі нееквівалентні реалізації дійсних нерозв'язних алгебр Лі розмірностей, не вищих, ніж чотири, векторними полями у просторі довільної скінченної кількості змінних. Проаналізовано класифікацію алгебр Лі векторних полів, що діють на дійсній площині, та описано множину їх диференціальних інваріантів, а саме: базиси диференціальних інваріантів, оператори інваріантного диференціювання та визначники Лі.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними, з використанням якого здійснено групову класифікацію загального квазілінійного рівняння еволюційного типу в двовимірному просторі - часі. Для ряду одержаних рівнянь з високими симетрійними властивостями проведено симетрійну редукцію та знайдено їх інваріантні розв'язки. Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців, яким відповідає редукція відомих конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь. З застосуванням методу симетрійної редукції одержано ряд конформно-інваріантних багатопараметричних сімей точних розв'язків рівнянь Максвелла у вакуумі. Описано коваріантні реалізації алгебр Лі ряду важливих груп локальних перетворень (груп Пуанкаре, Евкліда, Галілея та їх природних розширень). Одержано найбільш загальний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку в двовимірному просторі-часі, які інваріантні відносно груп Пуанкаре та Галілея.

  Скачати повний текст

Одержано повну класифікацію реалізацій дійсних розв'язних алгебр Лі розмірності не вище чотирьох у просторі довільної скінченної кількості змінних. Побудовано повний перелік нееквівалентних комплексних реалізацій алгебри AO(3) та реалізацій алгебри AE(3) у просторі трьох незалежних та n залежних комплексних змінних. Здійснено повну класифікацію комплексних реалізацій алгебри Лі груп Лоренца O(1, 3), використаних для опису одного важливого класу реалізацій алгебри Пуанкаре AP(1,3) у просторі чотирьох дійсних незалежних та n залежних комплексних змінних. Одержано повний список диференціальних інваріантів першого порядку для реалізацій дійсних розв'язків алгебр Лі розмірності 3 та 4 у просторах з однією незалежною змінною. Описано загальний вигляд інваріантних відносно цих алгебр систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано нормальні системи, що інваріантні відносно розв'язних алгебр Лі розмірності 3 та 4. На прикладі однієї з реалізацій алгебри Евкліда AE(3) побудовано повний перелік диференціальних інваріантів першого порядку та знайдено загальний вигляд інваріантної системи диференціальних рівнянь. Одержано нові точні розв'язки рівнянь Максвелла для вектор-потенціалу. Здійснено відокремлення змінних у системі рівнянь Шреддінгера - Максвелла.

  Скачати повний текст

Досліджено структури деяких алгебр Лі диференціювань, зокрема, централізатори елементів і максимальні абелеві підалгебри Лі у алгебрах Лі диференціювань. Вивчено замкнені раціональні функції від кількох змінних, які є природним чином взаємопов'язаними з описом централізаторів елементів. Наведено достатні умови замкненості раціональної функції від кількох змінних, а також охарактеризовано замкненість у термінах пучків гіперповерхонь.

  Скачати повний текст