Доведено існування стрибка потенціалу подвійного шару для самоспряженого параболічного рівняння на многовиді недодатної швидкоспадної секційної кривизни. Встановлено, що розмір стрибка такий самий, як і в евклідовому випадку. Побудовано розв'язок першої граничної задачі для даного рівняння методом потенціалів та одержано оцінку його збіжності. Наведено фундаментальний розв'язок параболічного рівняння зі зсувом на многовиді, який здійснено методом збурень, виходячи з різних початкових наближень: розв'язку самоспряженого рівняння та такого самого, помноженого на експоненту від роботи поля зсуву. Побудову проведено за різних умов на поле зсуву: сильних (швидкого спадання на нескінченності норми поля зсуву та його першої та другої коваріантних похідних) і слабких (обмеженості поля зсуву та його похідних). Одержано представлення логарифмічного градієнта фундаментального розв'язку параболічного рівняння зі зсувом у вигляді суми двох векторних полів: відомого та обмеженого.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію лінійних еліптичних операторів і еліптичних крайових задач (ЕКЗ) у гільбертових шкалах просторів Хермандера функцій / розподілів довільної додатної та від'ємної гладкості. Введено шкали просторів Хермандера на замкненому гладкому багатовиді та вивчено їх інтерполяційні властивості. Доведено нові апріорні оцінки розв'язків лінійних еліптичних систем, установлено нетеровість матричних еліптичних операторів у цих шкалах. Доведено нові теореми про розв'язність ЕКЗ у шкалах просторів Хермандера. Знайдено умову на простір правих частин еліптичного рівняння, за якої оператор ЕКЗ обмежений і нетерів у відповідних парах просторів розподілів.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено питанням класичної розв'язності в цілому за часом багатовимірних стаціонарних та нестаціонарних задач із вільними границями. Такі задачі являють собою математичні моделі процесів, характерною особливістю яких є наявність різних за своїми характеристиками фаз, відокремлених вільною (невідомою) границею. Запропоновано новий метод, за допомогою якого вдалося довести існування глобальних класичних розв'язків для цілої низки відомих задач із вільними границями.

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено класи збурених операторів задачі типу Діріхле для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку; диференціально-операторних рівнянь парного порядку та еліптичних рівнянь другого порядку, що залишають незмінним точковий спектр, повноту та мінімальність системи власних функцій. Досліджено спектральні властивості даних операторів. Власні функції операторів збурених задач та елементи біортогональних систем одержано в явному вигляді. Доведено базисність Ріса систем власних функцій операторів збурених задач. Виявлено подібність операторів збурених задач до операторів незбурених задач. Доведено однозначну розв'язність досліджуваних задач. Одержано зображення розв'язків збурених задач та їх оцінки.

  Скачати повний текст

Установлено умови коректності та побудовано розв'язки задач з даними на всій межі області для деяких класів лінійних безтипних рівнянь з частинними похідними довільного порядку зі сталими та змінними коефіцієнтами. Досліджено крайові задачі для лінійних рівнянь та систем рівнянь з частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часовою змінною, без обмежень на порядок диференціального виразу за просторовими змінними у разі старшої похідної за часом та побудовано розв'язки у вигляді рядів за системами ортогональних функцій. Уперше визначено умови існування та єдності розв'язків крайових задач для слабконелінійних гіперболічних рівнянь та систем рівнянь високих порядків зі сталими та змінними в головній частині оператора коефіцієнтами. Доведено нові метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час дослідження та побудови розв'язків розглянутих задач.

  Скачати повний текст

Вперше досліджено проблему мінімаксного оцінювання у випадку виродженої задачі Неймана для лінійних еліптичних рівнянь другого порядку. Одержано теореми, в яких визначено умови існування узагальнених розв'язків (визначених з точністю до константи) крайових задач для еліптичних рівнянь з граничними умовами Неймана та у разі спряження на системі незамкнених поверхонь, розташованих всередині області задання крайової задачі. Встановлено еквівалентність задачі мінімаксного оцінювання деякій задачі умовної оптимізації. Доведено нові твердження про загальний вигляд мінімаксних середньоквадратичних оцінок функціоналів від розв'язків і правих частин еліптичних рівнянь, одержано представлення для похибок оцінювання. Для нового класу спостережень, розподілених на системі поверхонь, досліджено проблему мінімаксного прогнозного оцінювання для параболічних крайових задач у випадку повністю або частково невідомих обмежень на невизначені параметри таких задач.

  Скачати повний текст

Досліджено нелокальні двоточкові та багатоточкові задачі для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь зі сталими, змінними й операторними (псевдодиференціальними) коефіцієнтами довільного (також і нескінченного) порядку в області, що є декартовим добутком відрізка та бататовимірного тора. Зазначено, що такі задачі є некоректними за Адамаром, а їх розв'язність взаємопов'язана з проблемою малих знаменників. Розроблено методику дослідження нелокальних задач, яка передбачає не лише накладання умов на малі знаменники, що забезпечують розв'язність задачі, але й знаходження оцінок знизу малих знаменників. З використанням метричного підходу одержано такі оцінки знизу майже всіх (стосовно міри Дебега) векторів, складених з коефіцієнтів рівнянь чи інших параметрів задачі. Установлено умови існування та єдності розв'язку двоточкових і багатоточкових задач для безтипних систем рівнянь з частинними похідними у просторах Соболєва періодичних функцій. Для рівнянь нескінченного порядку введено та досліджено відповідні простори Соболєва нескінченного порядку. Розглянуто питання знаходження наближених розв'язків (псевдорозв'язків) нелокальних задач за допомогою методу мінімізації у соболєвських просторах.

  Скачати повний текст