Одержано умови існування та неіснування глобальних розв'язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору. Доведено теореми типу Фуджити для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом. Вперше одержано умови існування глобального розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння з дивергентною головною частиною з джерелом, що містить нелокальний множник з від'ємним показником степеня. Розглянуто рівняння з подвійною нелінійністю та з підлінійними коефіцієнтами. Відзначено, що дані результати є новими навіть для напівлінійного рівняння. Знайдено умови глобальної розв'язності та відсутності обмежених розв'язків задачі Коші для природного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

  Скачати повний текст

Досліджено нескінченні системи диференціальних рівнянь, які описують нескінченні ланцюги лінійно зв'язаних нелінійних осциляторів. Одержано результати про існування та єдність глобальних розв'язків задачі Коші, а також результати про неіснування глобальних розв'язків. Вивчено періодичні за часом розв'язки. Такі розв'язки описуються нелінійними різницевими рівняннями, які мають варіаційну структуру. За допомогою теореми про гірський перевал установлено достатні умови існування періодичних розв'язків. У випадку степеневих потенціалів показано, що такі розв'язки можуть бути одержані за допомогою методу умовної мінімізації. У випадку просторово однорідних ланцюгів установлено існування розв'язків, що мають вигляд біжучих хвиль. Показано, що профіль таких хвиль експоненціально спадає на нескінченності.

  Скачати повний текст

З використанням диференціально-символьного методу досліджено задачу Коші для однорідної та неоднорідної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними за допомогою характеристичного та мінімального многочленів системи, а також двоточкову задачу для однорідної та неоднорідної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку за часом. Запропоновано спосіб побудови розв'язків цих задач. Розв'язки зображено у явному вигляді як дію за деякими параметрами диференціальних виразів, символами яких є початкові функції, праві частини двоточкових умов та праві частини неоднорідних рівнянь. Виділено класи аналітичних функцій та функцій, що мають узагальнені похідні за Соболєвим, в яких знайдені розв'язки задачі Коші та двоточкової задачі для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом існують та є єдиними.

  Скачати повний текст

Одержано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсів у задачах Коші для вироджених і сингулярних квазілійних параболічних рівнянь з абсорбцією. Вивчено вплив неоднорідності середовища та неоднорідності абсорбції на явище миттєвого виникнення інтерфейсу. Доведено гладкість інтерфейсу розриву коефіцієнтів для розв'язку параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами та розривним джерелом.

  Скачати повний текст

Досліджено методи й алгоритми, спрямовані на підвищення ефективності експлуатації паралельних обчислювальних систем. Розроблено багатокрокові блокові методи розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, орієнтованих на реалізацію в обчислювальних системах з паралельною архітектурою. Обгрунтовано збіжності та доведено стійкість розроблених методів. Показано, що паралельні алгоритми знаходження початкових значень для блокових методів забезпечують необхідну точність обчислень. Доведено, що розроблені методи пов'язані з одноразовим обчисленням оператора переходу. Здійснено відображення розроблених алгоритмів на структури сучасних високопродуктивних обчислювальних систем.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено топологічну структуру та вивчено властивості основних операцій у таких просторах. Надано характеристику даних просторів у термінах поведінки функцій з цих просторів та їх похідних на дійсній вісі. Знайдено необхідні й достатні умови, за яких оператор диференціювання нескінченного порядку є коректно визначений та обмежений у просторах типу C. За цього такий оператор трактується як псевдодиференціальний оператор, побудований за певним аналітичним символом. Доведено теореми про перетворення Фур'є просторів типу C (теореми двоїстості). Установлено, що таким перетворенням простори типу C відображаються у простори такого ж типу.

  Скачати повний текст

Побудовано асимптотичний розв'язок задачі Коші для вироджених сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь. Базуючись на відомих результатах асимптотичного аналізу загального розв'язку даної системи, розроблено метод безпосередньої побудови формального розв'язку початкової задачі під час виконання знайдених умов його існування та єдиності. Установлено критерії для визначення степенів малого параметра, з яких починаються відповідні формальні розвинення у різних випадках поведінки спектра межової в'язки матриць. Розроблено алгоритм для визначення коефіцієнтів відповідних формальних розвинень у випадку простого та кратного спектра межової в'язки матриць. Досліджено особливості побудови розв'язків у некритичному та критичному випадках. Знайдено умови, за виконання яких побудовані формальні розв'язки є асимптотичними розвиненнями відповідних точних розв'язків.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розвинуто теорію задачі Коші та двоточкову задачу для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами у класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів. За цього описано простори основних і узагальнених функцій. Вивчено властивості перетворення Бесселя та Фур'є - Бесселя, згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах. Досліджено властивості фундаментального розв'язку.

  Скачати повний текст

Визначено умови існування та єдиності розв'язків задачі Коші для збурених лінійних параболічних рівнянь з необмеженим замкненим секторіальним оператором від'ємного типу. Описано техніку диференціювання аналітичних функцій операторного аргументу в напрямках некомутуючих операторів. Розроблено метод наближення розв'язків збуреної змішаної параболічної задачі, що базується на властивостях аналітичної півгрупи, породженої заданим секторіальним оператором рівняння, на проміжних інтерполяційних просторах у загальному випадку, коли збурюючий оператор не комутує з заданим секторіальним оператором.

  Скачати повний текст

Для лінійних параболічних систем побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами, а також оцінки похідних розв'язку даної задачі у нормованих просторах Гельдера. Знайдено зображення фундаментальної матриці, за допомогою якої описано розв'язок імпульсної задачі зі змінними коефіцієнтами. Для лінійних параболічних рівнянь вищого порядку побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші для рівняння зі змінними коефіцієнтами, встановлено умови, за яких існує періодичний розв'язок задачі з імпульсною дією та розв'язок двоточкової задачі, одержано оцінки їх похідних. Для лінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку побудовано фундаментальну систему розв'язків, доведено леми про перетворення Фур'є фундаментальної системи розв'язків та її похідних, встановлено коректну розв'язність задачі Коші.

  Скачати повний текст

Досліджено задачі з нелокальними багатоточковими та нелокальними інтегральними умовами за виділеною змінною й умовами періодичності за рештою координат для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, а також задачу з початковими умовами для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки даних задач у вигляді рядів Фур'є. Доведено нові метричні твердження щодо оцінювання знизу малих знаменників, які виникли під час побудови та вивчення властивостей розв'язків розглянутих задач.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Для лінійних параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощині одержано результати, подібні до відомих у теорії задачі Коші для рівномірно параболічних систем без виродження. Розглянуто їх застосування для встановлення локальної розв'язності відповідних квазілінійних систем і знайдено загальні умови глобальної розв'язності задачі Коші для одного класу квазілінійних рівнянь. Досліджено властивості фундаментальної матриці розв'язків задачі Коші як функції часової змінної, що дозволило вивчати властивості об'ємних потенціалів, породжених нею, у спеціальних вагових просторах Гельдера. У даних просторах прирости беруться за сукупністю змінних, а вагові функції правильно враховують виродження системи. Доведено загальні леми про властивості інтегралів типу похідних від об'ємних потенціалів. Побудовано шаудерову теорію розв'язків параболічних систем з виродженням і, зокрема, доведено теореми про підвищення гладкості таких розв'язків. Доведено теореми про коректну розв'язність задачі Коші для слабко виродженої системи і задачі без початкової умови, якщо виродження сильне. За результатами для лінійних систем доведено теореми про локальну розв'язність відповідних квазілінійних систем. Для одного класу параболічних рівнянь встановлено загальні умови глобальної розв'язності задачі Коші.

  Скачати повний текст

Розвинуто теорію періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псtвдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку з початковими та крайовими даними, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів і розподілів. Знайдено умови, за яких зазначені оператори визначені та є неперервними у відповідних просторах основних функцій. Наведено зображення розв'язків, досліджено структуру та властивості фундаментальних розв'язків.

  Скачати повний текст

Наведено метод оберненої спектральної задачі, який адаптовано до інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків, породжених рівнянням Лакса, пов'язаних з унітарними та нормальним операторами. Запропоновано та деталізовано метод дослідження неізоспектральних ланцюжків (на відміну від класичного ізоспектрального випадку), породжених рівнянням Лакса, пов'язаним з самоспряженими й унітарними операторами. Розроблено метод дослідження неізоспектральних диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського як частинного випадку ланцюжків, породжених унітарними операторами у межах запропонованого методу. Класифіковано ланцюжки, що пропускають інтегрування, та наведено нові приклади з його застосуванням.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачу Коші для диференціального рівняння вищого порядку з лінійними замкненими операторними коефіцієнтами, що діють у комплексних банахових просторах. Описано підпростір розв'язків задачі Коші під час степеневих обмежень на зростання резольвенти поліноміального характеристичного жмутка рівняння у правій півплощині. Розкрито зв'язок між різними типами часткової та повнократної коректності, їх ознаки для явних та вироджених рівнянь у термінах обмежень на резольвенту характеристичного жмутка. Проаналізовано умови коректності у термінах обмежень на операторні коефіцієнти рівняння у випадку гільбертового простору. Вивчено ознаки повноти і базисності елементарних розв'язків неявного рівняння порядку n у класах усіх розв'язків та нормальних розв'язків з обмеженнями на показник експоненціального зростання. Сформульовано обмеження в термінах поведінки резольвенти в усій комплексній площині та деякій лівій півплощині.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст