Досліджено властивості простих динамічних систем необхідних для вивчення незвідних зображень відповідних інволютивних алгебр. Розглянуто двосторонні додатні орбіти, що впадають у цикли. Встановлено зв'язок між топологічною та позитивною спряженістю U-відображень. Досліджено позитивну спряженість для унімодальних відображень у часткових випадках.

  Скачати повний текст

Вперше описано класи мероморфних потенціалів для задачі 3-х тіл на прямій, що допускають існування додаткового поліноміального за імпульсами першого інтеграла. Доведено класифікаційні теореми, що заперечують можливість існування нових інтегровних за Лувіллем систем такого типу. Розв'язано проблему про інтегровність систем взаємодіючих n-тіл на прямій з різними типами взаємодії, що допускають поліноміальні за імпульсами додаткові перші інтеграли і доведено неіснування нових інтегровних гамільтонових систем такого типу. Розвинуто методику дослідження додаткових поліноміальних за імпульсами перших інтегралів гамільтонових динамічних систем та відшукання розв'язків диференціально-функціональних рівнянь.

  Скачати повний текст

Досліджено математичні моделі динамічних систем у вигляді інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри, розроблено методи, алгоритми та програмні засоби для їх комп'ютерної реалізації. Встановлено, що дієвим шляхом підвищення ефективності методів та засобів комп'ютерного моделювання динамічних систем є застосування інтегро-диференціальних рівнянь типу Вольтерри як математичних моделей цих систем. Запропоновано комплекс квадратурно-різницевих алгоритмів моделювання широкого класу лінійних і нелінійних динамічних систем. Наведено метод чисельного розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь зі слабко-сингулярними ядрами, який грунтується на використанні квадратурних формул відкритого типу. Розроблено числовий алгоритм розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри з заданими крайовими умовами. Винайдено метод комп'ютерної реалізації нелінійних інтегро-диференціальних моделей Вольтерри, який базується на автоматичній адаптації квадратурних методів розв'язку інтегральних рівнянь. Запропоновано пакет програм для розв'язку задачі Коші та крайової задачі для інтегро-диференціального рівняння Вольтерри в системі Matlab. За допомогою розроблених алгоритмів та програмних засобів розв'язано низку прикладних задач.

  Скачати повний текст

Проведено структурування деяких класів нелінійних дискретних систем до уніфікованого дробово-раціонального вигляду. Доведено використання методу функцій Ляпунова до нелінійних різницевих систем із запізненням. Одержаний підхід використано під час дослідження стійкості лінійних систем великої розмірності, а також нелінійних систем із дробово-раціональною правою частиною. За допомогою методу функціоналів Ляпунова - Красовського квадратичного вигляду одержано умови стійкості та обчислено показники збіжності розв'язків лінійних різницевих систем з запізненням. Розроблено метод побудови оптимальних функціоналів Ляпунова - Красовського для одержання гарантованих умов стійкості в класі функціоналів квадратичного виду.

  Скачати повний текст

Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею. Вивчено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні зміни яких записано у канонічному вигляді. У термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

Розглянуто динамічні системи, математичними моделями яких є системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. Запропоновано узагальнення прямого методу Ляпунова для вивчення таких характеристик динамічних систем, як обмеженість в цілому їх рухів, асимптотична стійкість положень рівноваги, їх нестійкість, обмеженість в цілому рухів і нестійкість положень рівноваги даних систем стосовно частини змінних, існування періодичних рухів. Доведено теореми, які дають змогу досліджувати нелінійні динамічні системи за допомогою знакозмінних функцій Ляпунова, а також запропоновано нову конструкцію для виявлення нестійкості - "лінійний сектор", завдяки якій питання про нестійкість розв'язується на базі аналізу системи алгебричних нерівностей. Запропоновано нові алгебричні критерії нестійкості та відсутності періодичних рухів.

  Скачати повний текст

Розроблено новий метод для побудови гомо- та гетероклінічних траєкторій у нелінійних динамічних системах з двовимірним фазовим простором у випадку малої дисипації з використанням Паде та квазі-Паде апроксимації. Одержано необхідну умову існування апроксимацій, а також умову у нескінченності, що дало змогу розв'язати крайову задачу, сформульовану для траєкторій, та обчислити початкові значення з припустимою точністю. Для випадку немалої дисипації запропоновано метод визначення початку хаосу, що базується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій в областях хаотичної поведінки у динамічних системах. Даний метод дозволяє дослідити процес появи та збільшення областей хаотичної поведінки у разі зміни керуючих параметрів динамічної системи. За допомогою комплексу програм визначено нижні межі областей хаотичної поведінки у площинах параметрів для рівнянь, до яких зводиться розв'язання нелінійних задач динаміки, а саме: для неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля - Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Достовірність одержаних результатів експериментально перевірено.

  Скачати повний текст

Досліджено властивості топологічно транзитивних і мінімальних відображень на компактних хаусдорфових (метричних) просторах. Показано, що мінімальне відображення є майже відкритим, яким воно може бути лише коли є гомеоморфізмом. Доведено існування компактних хаусдорфових просторів, які припускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних геоморфізмів. Для довільних динамічних систем на метричних компактних просторах, досліджено концепцію хаосу Лі-Йорка, яку було вивчено раніше в основному тільки для одновимірної динаміки. Показано, що система з додатною топологічною ентропією є хаотичними в сенсі Лі - Йорка. Запропоновано нову концепцію хаотичних систем, що поєднує ідеї чутливості та хаосу в сенсі Лі - Йорка - чутливість Лі-Йорка. Доведено, що для довільної слабко змішаної динамічної системи проксимальна клітка будь-якої точки фазового простору скрізь щільна (резидуальна) у ньому. Розроблено засади теорії трикутних неперервних відображень та топологічної ентропії неавтономних динамічних систем. Знайдено та досліджено аксіоматичні означення топологічної ентропії та топологічного хаосу для неперервних відображень відрізка.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачі практичної стійкості та оптимізації динаміки пучків з імпульсною дією. Проведено аналіз практичної стійкості імпульсних систем без збурень та з постійно діючими збуреннями. Для опуклих і зіркових фазових обмежень визначено конструктивні умови максимальних за включенням множин практичної стійкості. Сформульовано та доведено теореми практичної стійкості імпульсних систем. Встановлено необхідні умови оптимальності для задач керування пучком траєкторій динамічної системи з імпульсною дією, якщо функціонал якості є функцією максимуму за початковими даними або за незалежною змінною. Побудовано ітераційні процедури параметричної мінімізації функції максимуму за початковими даними на розв'язках імпульсних динамічних систем. Розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення для задач оптимізації динаміки заряджених частинок в прискорювальних і фокусувальних системах і проведено відповідний обчислювальний експеримент.

  Скачати повний текст

Узагальнено умови монотонності топлогічної ентропії для одного класу неполіноміальних сімей унімодальних відображень і знайдено принципово нові відображення, для яких топологічна ентропія - монотонна функція параметра. Для деяких однопараметричних сімей кусково-лінійних унімодальних відображень доведено, що нідинг-інваріант та топологічна ентропія - монотонно зростаючі функції параметра. Для сімей барн-відображень знайдено таку множину параметрів, за якої нідинг-інваріант та топологічна ентропія не є монотонними функціями параметра. Методами теорії динамічних систем дано пояснення, чому такі відображення не можна апроксимувати відображеннями з від'ємним шварціаном. Досліджено символьну складність підзсувів, які породжуються відображеннями інтервалу з заданими комбінаторними властивостями. Зокрема, одержано точні формули функцій складності p(n) для Фібоначчі-подібних нідинг-підзсувів.

  Скачати повний текст

Побудовано загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи зі слабким запізненням, а також загальний розв'язок лінійної неоднорідної дискретної системи з чистим запізненням. Визначено критерії керованості та створено керування системами з чистим запізненням. Розроблено математичну модель динаміки ціноутворення на ринку вільної конкуренції та проведено її дослідження. Визначено область стійкості розв'язків математичної моделі, оцінено вплив запізнення на поведінку системи. Проведено дослідження моделі Леслі. Запропоновано нелінійну модель Леслі, що враховує вплив щільності на інтенсивність народжуваності. З використанням цієї моделі описано динаміку розвитку фірми у рамках життєвого циклу товару. Наведено математичну модель динаміки платіжного календаря банку.

  Скачати повний текст

Узагальнено поняття неперервної абстрактної динамічної системи та системи з розривними характеристиками та запропоновано загальні методи їх дослідження. На базі використання методу точкових відображень щодо вивчення двовимірних динамічних систем з імпульсною дією одержано аналітичний критерій стійкості n-імпульсних циклів двовимірної динамічної системи з імпульсною дією на площині. Наведено оцінку кількості атракторів для спеціального класу двовимірних динамічних систем з імпульсною дією. Досліджено властивості функції послідування для двовимірних динамічних систем з імпульсною дією на площині. За допомогою нових спеціальних геометричних та алгебраїчних методів проведено повне дослідження спеціального класу двовимірних динамічних систем з імпульсною дією на площині.

  Скачати повний текст

Досліджено питання моделювання й обробки сигналів динамічних систем з використанням операційних методів. Розвинуто апроксимаційні методи дослідження систем, запропоновано інтерполяційно-екстраполяційний метод, що дозволяє підвищити точність блочно-імпульсної апроксимації, за цього зберігаючи переваги. На базі методу створено операційний підхід до аналізу динамічних систем, що описуються звичайними диференціальними рівняннями цілого, дробового та змішаного порядків з постійними та змінними коефіцієнтами. Розвинуто апроксимаційний метод моделювання систем з запізнюванням. Виведено операційні матриці запізнювання для різних базисних систем. Розроблено алгоритми розв'язку крайових і варіаційних задач. Створено програмні реалізації всіх запропонованих методів і алгоритмів у системах <$EMathematica symbol л> та BatLab/Simulink.

  Скачати повний текст

Досліджено стійкість нечітких різницевих систем за допомогою теорії нечітких множин. Описано нечіткі різницеві моделі з неперервними та дискретними універсальними множинами. Визначено умови розв'язку нечіткої системи, описано динаміку ситуацій прийняття рішень на основі нечіткої різницевої системи, а також викладено підходи для формалізації дій операторів у виді двох алгоритмів, розглянуто методи експертного опитування та теорії прийняття рішень. Проаналізовано стійкоподібні властивості розв'язків нечіткої різницевої системи у випадку її нерегулярної траєкторії. Доведено асимптотичну стійкість за Ляпуновим розв'язків нечіткої різницевої системи.

  Скачати повний текст

Розроблено метод побудови геометричних моделей поверхонь поведінки динамічних систем з нечіткими параметрами. Метод дозволяє керувати у часі динамічними об'єктами з нечіткими параметрами шляхом наочного відстеження траєкторії руху "точки" миттєвих станів системи на поверхні поведінки цієї системи, здійснювати у середовищі пакету Maple за допомогою R-функцій аналітичний опис базових функцій належності, складати набори нечітких правил та виконувати за допомогою R-функцій аналітичні описи результатів їх виконання, складати алгоритми нечіткого висновку та формувати аналітичні описи областей можливих розв'язків задачі, будувати поверхні поведінки, графіки перехідних процесів на зображення фазових портретів систем керування об'єктами з нечіткими параметрами. З використанням запропонованого методу розроблено спосіб керування у часі динамічними об'єктами з нечіткими параметрами шляхом відстеження траєкторії руху "точки" миттєвих станів системи за поверхнею поведінки. Розроблено конкретні приклади керування, зокрема, кондиціонером, для підтримки заданої температури в ємності хімічного устаткування, системою "кран - вантаж на баржі - платформа", з метою мінімізації часу розвантаження з обмеженням на амплітуду розгойдування вантажу, оберненим маятником, вісь якого закріплена на рухомому візку, з метою забезпечення рівноваги маятника шляхом переміщення візка.

  Скачати повний текст

Запропоновано загальний підхід до аналізу асимптотичної динаміки недисипативних систем на некомпактних функціональних просторах, який застосовано до динамічних систем, породжуваних різницевими рівняннями та крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Показано, що типовими є неперервні розв'язки, які прямують до напівнеперервних зверху функцій, графіки яких є локально самоподібними, а за досить загальних умов - і фрактальними. Встановлено можливість існування вкрай нерегулярних розв'язків, які асимптотично точно описуються випадковими процесами. До наукового обігу введено поняття автостохастичності в детермінованих системах - ситуації, коли глобальний атрактор містить випадкові функції. Обгрунтовано новий сценарій хаосу - просторово-часового хаосу в розподілених системах з регулярною динамікою на атракторі, за якого атрактор складається з циклів, а хаотизація зумовлена дуже складною внутрішньою структурою "точок" атрактора - елементів певного функціонального простору. Досліджено асимптотичну поведінку розв'язків кількох класів q-різницевих і диференціально-різницевих рівнянь. Запропоновано підхід щодо аналізу крайових задач для рівнянь з частинними похідними, який грунтується на поєднанні методів редукції до різницевих рівнянь і переходу до розширених динамічних систем. Запропоновано використовувати математичний формалізм для опису процесів самоорганізації та детермінованого хаосу. Наведено метематичне обгрунтування поняття "ідеальна турбулентність".

  Скачати повний текст

Розроблено методи дослідження динаміки процесів, що моделюються сукупністю диференціальних і різницевих рівнянь, які поєднані логічними законами перемикання. Основну увагу приділено вивченню ключової якісної властивості таких систем - їх стійкості, показано її суттєве значення у проектуванні систем керування. Досліджено поведінку розв'язку й одержано оцінки стійкості логіко-динамічної системи з часовим перемиканням, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, а також дискретних рівнянь. Одержано оцінки розв'язку логіко-динамічної системи, яка складається з підсистем, що описуються системами лінійних диференціальних і дискретних рівнянь із запізненням. Наведено оцінки розв'язку систем рівнянь нейтрального типу. Розроблено модель прискорювальної системи руху тіла з трьома степенями свободи під дією безконтактних сил і здійснено оцінку її розв'язку аналітичним методом та за допомогою чисельного експерименту. З'ясовано, що проблема динамічної поведінки вільних об'єктів, особливо стійкості траєкторії, виникає у ряді задач, зокрема, для систем прискорення заряджених частинок, а також прискорення або гальмування магніто-левітуючого транспорту. Теоретичні результати, одержані для лінійних систем, підтверджено експериментальними даними моделювання динаміки системи з часовим перемиканням.

  Скачати повний текст

Побудовано теорію глобальних атракторів багатозначних неавтономних і випадкових динамічних систем. Розроблено теорію глобальних атракторів багатозначних неавтономних і випадкових динамічних систем. Створено теорію у загальних топологічних просторах, на базі якої досліджено властивості компактності, інваріантності, зв'язності, стійкості та залежності від параметру глобальних атракторів. Доведено теореми про існування глобального атрактора для деяких класів нелінійних еволюційних рівнянь і включень з трансляційно-компактною за часовою змінною правою частиною, для деяких каскадних частинок, а також для еволюційних рівнянь і включень, розв'язки яких зазнають імпульсних збурень у фіксовані моменти часу. Розроблено абстрактну теорію випадкових атракторів багатозначних випадкових динамічних систем. Одержано результати про існування випадкового атрактора для деяких випадково збурених евоційних систем.

  Скачати повний текст

Досліджено процеси виникнення, розвитку та зникнення детермінованого хаосу у деяких прикладних динамічних системах, а саме: маятникових системах, системах генератор - випромінювач та бак з рідиною - електродвигун. Виявлено існування у досліджених системах різних типів хаотичних атракторів, зокрема, гіперхаотичних. Побудовано та детально вивчено фазові портрети, перерізи та відображення Пуанкаре, розподіли спектральних густин та інваріантних мір хаотичних атракторів. Установлено існування різноманітних сценаріїв переходу від регулярних рухів до хаотичних, таких, як сценарій Фейгенбаума, переміжність за Помо - Манневіллем, жорсткі переходи до хаосу. Виявлено новий сценарій переходу до хаосу, який узагальнює сценарій Помо - Манневілля. Знайдено та вивчено спектри ЛХП (Ляпуновських характеристичних показників) і фрактальні розмірності хаотичних атракторів. Побудовано та досліджено фазопараметричні характеристики розглянутих систем. Виявлено випадки, за яких дослідження динаміки багатовимірної динамічної системи може здійснено за допомогою одновимірного дискретного відображення. Вивчено вплив різних факторів запізнювання на динамічну стабілізацію маятникових систем за обмеженого та необмеженого збудження. Досліджено вплив факторів запізнювання на хаотизацію систем генератор - випромінювач.

  Скачати повний текст

Розглянуто задачі практичної стійкості та оптимізації динаміки систем зі зміною вимірності фазового простору. Сформульовано та доведено теореми про практичну стійкість систем зі зміною вимірності фазового простору без збурень та з постійно діючими збуреннями. Встановлено конструктивні критерії для аналізу практичної стійкості лінійних систем зі зміною вимірності фазового простору без та з постійно діючими збуреннями. Доведено теорему про загальний вигляд похідної за напрямком недиференційованого критерію якості за параметрами на траєкторіях систем зі зміною вимірності фазового простору. Побудовано ітераційні процедури параметричної мінімізації функції максимуму за початковими даними на розв'язках динамічних систем зі зміною вимірності фазового простору. Дану методику застосовано для моделювання оптимальної динаміки заряджених частинок і визначення найбільш прийнятних параметрів досліджуваних систем.

  Скачати повний текст