Вивчено апроксимацію на вертикальних прямих ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності та зростаючими до <$E+ inf> показниками експоненціальними багаточленами. Узагальнено стосовно довільної шкали зростання теореми А.Натяля та Д.Шукли про зв'язок між зростанням суми ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності й апроксимацію експоненціальними багаточленами на вертикальній прямій з області абсолютної збіжності. Одержано ряд результатів критеріального характеру про поводження залишку ряду Діріхле з нульовою абсцисою абсолютної збіжності та цілого ряду Діріхле залежно від поводження його коефіцієнтів і показників. Досліджено швидкість збіжності часткових сум рядів Діріхле. З застосуванням одержаних результатів вивчено раціональну апроксимацію аналітичних функцій з невід'ємними тейлоровими коефіцієнтами. Описано швидкість прямування до границі нулів часткових сум тейлорового розвинення цілої функції у термінах узагальнених порядків.

  Скачати повний текст

З використанням диференціально-символьного методу досліджено задачу Коші для однорідної та неоднорідної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку за часовою змінною та до безмежного порядку включно за просторовими змінними за допомогою характеристичного та мінімального многочленів системи, а також двоточкову задачу для однорідної та неоднорідної системи диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку за часом. Запропоновано спосіб побудови розв'язків цих задач. Розв'язки зображено у явному вигляді як дію за деякими параметрами диференціальних виразів, символами яких є початкові функції, праві частини двоточкових умов та праві частини неоднорідних рівнянь. Виділено класи аналітичних функцій та функцій, що мають узагальнені похідні за Соболєвим, в яких знайдені розв'язки задачі Коші та двоточкової задачі для системи диференціальних рівнянь із частинними похідними другого порядку за часом існують та є єдиними.

  Скачати повний текст

Проаналізовано резонансні явища одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом. З використанням методів теорії Колмогорова - Арнольда - Мозера (КАМ-теорії) досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту похідних. Визначено межі зон нестійкості й описано множину значень енергії, на якій рівняння має розв'язки у вигляді блохівських функцій. Встановлено аналітичність за малим параметром меж резонансних зон. З'ясовано, що межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з половинним частотним базисом. Для опису зазначених розкладів у випадку потенціалу, що є дійсним тригонометричним многочленом скінченного порядку, використано діаграмну техніку.

  Скачати повний текст

Розроблено математичну модель процесу деформування трубопровідних обв'язків (ТО) газоперекачувальних агрегатів (ГПА) (на прикладі нагнітального патрубка), яка базується на гіпотезі про характер деформування його тороїдальної ділянки за умов зміни вібраційного стану ГПА, згідно з якою після деформування ділянка залишається тороподібною. За цього змінюється радіус кривизни осі та величини кута, під яким видно ділянку з центру кола, що визначає вісь ділянки, що дає змогу одержати значення механічних напружень (осьових і зсувних), що діють на ділянку, та їх розподіл за об'ємом нагнітального парубка за результатами оцінки вібраційного стану ГПА. Уперше за умов параметричного представлення деформованої осі нагнітального патрубка використано інтерполяційні многочлени Ерміта різних степенів, за цього вісь першої прямолінійної та прилеглої до неї конічної ділянки моделюється одним многочленом, що дає змогу установити значення максимальних напружень, які виникають у матеріалі конічної ділянки нагнітального патрубка. Розвинуто метод обробки вібраційних сигналів з контрольних точок ГПА на основі "wavelet"-перетворення, з використанням якого одержано оперативну та вірогідну інформацію про вібраційний стан ГПА. Розроблено метод оптимального розташування вібродавачів на корпусі ГПА, базуючись на вдосконаленні двовимірної кореляційної матриці, використання якого дає змогу без втрат інформації про вібраційний стан ГПА зменшити кількість вібродавачів, що вивільнює обчислювальні ресурси системи та прискорює процес обробки віброакустичної інформації у режимі реального часу.

  Скачати повний текст

Розроблено числові алгоритми розв'язування просторових аналогів обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні та квазіконформні відображення, що, зокрема, автоматично вирішує проблему вибору вузлів розрахункової сітки. Розвинуто ефективний числово-асимптотичний метод розв'язування просторових нелінійних сингулярно збурених модельних задач типу "конвекція - дифузія - масообмін" для випадків урахування многочленної й інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, а також запізнення в часі. Одержано розв'язки сформульованих задач у разі задання на вході (виході) фільтраційної течії умов конвективно-дифузійного підведення (відведення) забруднювальної речовини, врахуванні анізотропних властивостей середовища. Надану методику поширено на розв'язування таких задач для випадків багатошарових середовищ, із врахуванням зворотного впливу концентрацій забруднювальних речовин, швидкості фільтрації тощо на коефіцієнти пористості, масообміну. Побудовано нові моделі процесів фільтрування через пористі завантаження. Проаналізовано фільтраційні характеристики пористих середовищ та одержано прогнозне оцінювання поведінки поширення та розподілу забруднювальних речовин у них. Розроблено відповідне програмне забезпечення.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Виведено залежність між величинами норм мультиплікаторів кратних рядів Тейлора, згрупованих в ряди за однорідними многочленами та величинами норм таких самих мультиплікаторів однократних рядів Тейлора голоморфних функцій відповідно декількох та однієї змінної.

  Скачати повний текст

Одержано нові точні нерівності типу Колмогорова для функцій періодичних, заданих на півосі, осі та скінченному інтервалі, а також для функцій багатьох змінних. Виявлено взаємозв'язки точки нерівностей типу Колмогорова, записаних у вигляді нерівностей для опорних функцій опуклих множин, з рядом екстремальних задач аналізу - наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу К-функціонала. Виявлено взаємозв'язок точних констант за умов норми функції в адитивних нерівностях типу Колмогорова з точними константами у відповідних нерівностях типу Маркова - Нікольського для алгебричних поліномів. На цій основі розв'язано ряд екстремальних задач аналізу, зокрема, одержано нові точні результати з наближення класів функцій багатьох змінних квазіполіномами, доведено ряд нових точних нерівностей типу Бернштейна - Нікольського для тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів. Одержано нові теореми порівняння похідних функцій, їх переставлень і <$Esymbol S>-переставлень Корнєйчука. Знайдено точні значення найкращих наближень алгебричними многочленами в інтегральній метриці класів дробових інтегралів від сумовних на відрізку функцій, інтегральні норми яких не перевищують 1.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Проведено дослідження рівномірного та поточкового коопуклого наближення дійснозначних функцій тригонометричними й алгебричними поліномами та сплайнами. Встановлено, що класична оцінка типу Нікольського поточкового наближення многочленами неперевних на відрізку функцій зберігається і для коопуклого наближення, якщо функція має більше однієї точки перегину, а її гладкість характеризується третім модулем неперервності. Подібні задачі розв'язано і для коопуклого наближення сплайнами, усі наближаючі поліноми та сплайни побудовано конструктивно.

  Скачати повний текст

Побудовано новий варіант теорії термомеханіки неферомагнітних електропровідних тіл за умов дії імпульсних електромагнітних полів (ЕМП) з модуляцією амплітуди, що грунтується на врахуванні експериментально встановленого у фізиці надсильних ЕМП і термомеханіці динамічних систем адіабатичного характеру процесів нагрівання та деформування, а також неістотності впливу рухомості середовища на характеристики ЕМП для полів, що належать до класу імпульсних "неруйнівних", дія яких ще не призводить до виникнення ударних хвиль. Удосконалено поліноміально-апроксимаційну методику розв'язання сформульованих складових задач електромагнітотермомеханіки електропровідних тіл канонічної форми з використанням апроксимації всіх ключових функцій многочленом третього степеня за координатною зміннною (для порожнистих та суцільних циліндричних і сферичних тіл і тіл з плоскопаралельними границями). Сформульовано вихідні задачі термомеханіки в нгапруженнях, що дозволило ефективно застосувати метод кубічної апроксимації для визначення компонент тензора напружень без підвищення степеня апроксимаційного поліному. Одержано розв'язки нових практично важливих класів одновимірних за просторовими змінними задач термомеханіки електропровідних тіл канонічної форми за дії двох широко використовуваних в інженерній практиці типів ЕМП з модуляцією амплітуди, що характеризуються відповідно режимом з імпульсним модулюючим сигналом і режимом згасаючої синусоїди. Одержано нові дані про вплив параметрів імпульсного електромагнітного навантаження, геометричних розмірів і характеристик матеріалу на термомеханічну поведінку тіл та їх несучу здатність.

  Скачати повний текст

Побудовано нову теорію і знайдено нові методи дослідження зв'язків розташування коренів многочленів і цілих функцій з властивостями їх коефіцієнтів, а також отримані описи і досліджено властивості лінійних операторів, які зберігають гіперболічність, стійкість і позитивність. Отримано достатню умову тотальної (кратної) позитивності дійсних матриць, та доведено, що ця умова є точною в класах ганкелевих матриць і тепліцевих матриць. Отримано достатні умови стійкості комплексних многочленів і цілих функцій, перевірено, що вони не можуть бути покращеними. Знайдено опис крайніх напрямків конусу многочленів з додатними коефіцієнтами, які є невід'ємними на дійсній осі і мають степінь не більшу за дане число. Знайдено опис діагональних в стандартному базисі лінійних операторів, які зберігають вказаний конус. Отримано характеризацію нульових множин цілих абсолютно монотонних функцій, якщо вони не перетинають деякий кут, якій містить від'ємну півось. Знайдені значення параметру, при яких часткова тета-функція і її відрізки ряду Тейлора належать до класу Лаґерра-Поліа. Досліджено належність до класу Лаґерра-Поліа низки інших важливих цілих функцій і їх відрізків ряду Тейлора. Знайдена нова характеризація класу Лаґерра-Поліа через узагальнені нерівності Лаґерра. Отримано точну оцінку знизу на меш образу гіперболічного многочлена під дією центрально-різницевого лінійного оператора зі сталими коефіцієнтами. Отримано опис лінійних скінчено-різницевих операторів зі сталими коефіцієнтами, які зберігають множину гіперболічних многочленів, і які зберігають множину многочленів з коренями у смузі. Доведені важливі властивості коренів образу цілої функції класу Лаґерра-Поліа під дією центрально-різницевого лінійного оператора. Отримано опис лінійних скінченно-різницевих операторів, коефіцієнти яких є цілими функціями, що зберігають клас цілих функцій Лаґерра-Поліа.^UWe develop a new theory and find new methods for studying connections between the zero location of polynomials and entire functions and properties of the coefficients of these functions. We also find descriptions and investigate properties of linear operators that preserve hyperbolicity, stability and positivity. We obtain a sufficient condition for total (multiple) positivity of real matrices and prove that this condition is sharp in the class of Hankel matrices and in the class of Toeplitz matrices. New sufficient conditions for stability of complex polynomials and entire functions are obtained; they are shown to be sharp. We obtain a description of the extremal rays of the cone of polynomials with nonnegative coefficients that are nonnegative on the real axis and have degrees less than a given number. A description of the class of linear operators that act diagonally in the standard monomial basis and preserve this cone is found. We obtain a characterization of the zero sets of entire absolutely monotonic functions under condition that these sets do not intersect an angle that contains the negative half-axis. We found the parameter values for which the partial theta-function and its Taylor sections belong to the Laguerre-Polya class. We investigate some other important entire functions and their Taylor sections, and determine whether these functions belong to the Laguerre-Polya class. We find a new characterization of the Laguerre-Polya class in terms of generalized Laguerre inequalities. A new sharp estimate from below for the mesh of the image of a hyperbolic polynomial under central finite-difference linear operator with constant coefficients is obtained. We find a description of linear finite-difference operators with constant coefficients that preserve the set of hyperbolic polynomials and that preserve the set of polynomials whose zeros are contained in the horizontal strip. We establish important properties of the zeroes of the image of an entire function from the Laguerre-Polya class under central finite-difference linear operator. We obtain a description of linear finite-difference operators, whose coefficients are entire functions, and which preserve the Laguerre-Polya class of entire functions.

В дисертації встановлено ряд класичних за виглядом оцінок формозберігаючого наближення (ФЗН) функцій поліномами та сплайнами на відрізку і на дійсній осі, описано місце цих оцінок серед інших досягнень в теорії ФЗН і в класичній теорії наближення без обмежень, доведено низку прикладів, що свідчать про неможливість покращення вказаних результатів (за порядком наближення тощо) і зроблено стислий огляд тематики за останні тридцять років. Під "формою" розуміється зміна знаку, або зміна монотонності, або опуклості, або q-монотонності (на відрізку/періоді) у функції, а під "формозбереженням" – і у наближаючого її многочлена/полінома/сплайна. Тобто на відміну від класичного наближення без обмежень у ФЗН наближаючі многочлени/поліноми/сплайни не осцилюють як завгодно, а зберігають вказані геометричні властивості функції. Відомо, що наблизити монотонну, опуклу, або q-монотонну функцію (q>2) алгебраїчними многочленами, які збережуть її форму, цілком можливо (тобто теорема Вейєрштрасса про наближення многочленами справджується для ФЗН). В той же час, в деяких випадках порядки (або швидкості) ФЗН значно "гірші" за порядки найкращих наближень без обмежень, тоді як в інших вони "майже такі самі". Також в певних випадках класичні за формою оцінки наближення без обмежень зберігаються у ФЗН – в інших ні. В дисертації, зокрема, з'ясовані ці випадки, тобто представлено результати про справджуваність і хибність рівномірних і поточкових оцінок похибок ФЗН в термінах різних модулей гладкості.^UIn the thesis a number of classical in form estimates of Shape Preserving Approximation (SPA) of functions by polynomials and splines on a finite interval and on the real axe are proved, the place of each of these results among other achievements in the theory of SPA and the classical approximation theory without restrictions is described, a number of examples is proved to show that it is not possible to improve the indicated estimates (in the sense of order of approximation, etc.), and a brief overview of the topic over the last thirty years is made. "Shape" refers to changes of sign, or monotonicity, or convexity, or q-monotonicity (on an interval/period) of a function, whereas "preservation of the shape" – also of polynomials/splines that approximate this function. That is, in contrast to the classical approximation without restrictions, in SPA, the approaching polynomials /splines do not oscilate arbitrarily, but preserve the specified geometric properties of the function. It is known that it is quite possible to approximate a monotone, or convex, or q-monotone function (q>2) by algebraic polynomials which will preserve its shape (i.e., the Weierstrass theorem on approximation by polynomials is true for SPA). At the same time, in some cases, the degrees (or speeds) of SPA are much "worse" than the best approximations without restrictions, while in the others – they are "almost the same". Also, in certain cases, the classical in form estimations of approximation without restrictions is stored in the SPA – in others no. In the thesis, in particular, these cases have been clarified, that is the results on validity and invalidity of uniform and pointwise estimates of errors of SPA in terms of different moduli of smoothness are presented.

Розв'язано актуальну наукову задачу − розроблення адаптивних аналітико-числових математичних моделей процесу масопереносу, зокрема, руху газу в трубопроводах та природних пористих утвореннях, які відповідають практичним завданням оптимізації потокорозподілу газу за критеріями раціонального споживання, та адаптивних методів розрахунку цих моделей, орієнтованих на використання апріорної інформації про шукані розв'язки. На основі аналізу нових практичних за-дач, зокрема виявлення витоків газу та оцінки об'ємів газу розчиненого у водах, які є наявні в пластах підземних сховищ, показана необхідність уточнення відповідних математичних моделей та методів розв'язування сформульованих крайових задач. В роботі побудовано квазіспектральні поліноми та повні біортогональні системи. На цій базі розроблені методи та відповідні алгоритми розв'язування крайових задач масопереносу. Розроблені способи розв'язування апробовано на модельних задачах.^UThe actual scientific problem – the development of adaptive analytical-numerical mathematical models of the mass transfer processe in particular gas motion in the pipelines and in the natural porous formations, which correspond to the practical tasks of the gas distribution optimization according to the criteria of rational consumption and the development of adaptive methods of calculation of these models which are oriented to use apriori information about the desired solutions, is solved. In this work, the quasi-spectral polynomials and the complete biorthogonal systems are constructed. Their properties are researched and expansions of biorthogonal Chebyshev polynomials of the first kind and their derivatives using quasi-spectral and biorthogonal functions are found; as well as Fourier-Chebyshev series representations using biorthogonal expansions are obtained.

Результати, отримані у дисертації, присвячені вивченню локальної та глобальної класифікацій гладких функцій із ізольованими (невиродженими) критичними точками на многовидах з межею, а також деформацій загального положення таких функцій. Першим розглянутим класом функцій є функції Морса, задані на гладких многовидах з межею, всі критичні точки яких належать межі і відповідні обмеження на межу є також є функціями Морса (так звані mm-функції). Для цих функцій отримано локальне зображення в околі критичної точки у вигляді квадратичного многочлена. Для простих mm-функцій на поверхнях описано можливі атоми і f-атоми, побудовано умови мінімальності числа особливостей у цьому класі функцій й знайдено необхідні умови продовження простої функції Морса, заданої на межі орієнтованої поверхні, до простої оптимальної mm-функції на всій поверхні. Іншим розглянутим класом є прості функції з невиродженими особливостями (як внутрішніми, так і на межі) на компактній орієнтованій по-верхні. Показано їхню топологічну еквівалентність m-функціям й побудовано комбінаторний інваріант для пошарово оснащеної класифікації зі збереженням орієнтації поверхні у формі оснащеного графа Кронрода-Ріба. Також описано всі прості атоми та виведено формулу для знаходження роду поверхні за відповідним оснащеним KR-графом. У просторах описаних вище функцій, а також для функцій Морса на замкнених поверхнях отримано критерій існування деформації загального положення функцій, використовуючи для цього деформації відповідних оснащених графів Кронрода-Ріба (для функцій Морса оснащений KR-граф графом Кронрода-Ріба у звичайному сенсі). Також описано зв'язок між оптимальністю і полярністю для кожного із класів функцій, заданих на гладкій компактній орієнтованій поверхні зі зв'язною межею (можливо порожньою). Останнім у дисертації розглянуто прості функції, всі критичні точки яких є ізольовані, належать межі й множини особливостей функції і відповідного обмеження на межу збігаються. Отримано локальну топологічну класифікацію таких функцій. Також описано атоми, побудовано критерій оптимальності й повний топологічний інваріант для оптимальний функцій цього класу у формі хордової діаграми сідлового критичного рівня.^UThe results, obtained in this dissertation, are devoted to the study of local and global classifications of smooth functions with isolated (non-degenerate) critical points on manifolds with the boundary, and also the deformations in general po-sition of such functions are advised.The first considered functions class consists of Morse functions, defined on smooth manifolds with the boundary, all critical points of which belong to the boundary, and correspondent functions restriction are also Morse functions (namely mm-functions). It is obtained for these functions the local presentation about a critical point in the special form of the quadratic polynomial. In the case of simple mm-functions on the surface, we describe all possible atom and f-atoms. In addition, it is constructed the conditions of minimization of singularities number in this functions class and founded the necessary conditions of continuation of simple Morse function, defined on the oriented surface boundary, to the simple optimal mm-function being defined on the whole surface. Another researched functions class includes functions with non-degenerate singularities (either inner or boundary) being defined on the compact oriented surface. It is proved their topological equivalence to m-functions and constructed the combinatorial invariant in the form of equipped Kronrod-Reeb graph for further layer equipped equivalence. Furthermore, we illustrate all simple atoms and deduce the formula for surface gender, using for it the information obtained from the equipped KR-graph.Another investigation direction is deformations in the general position of either one of the above-described functions class or of Morse functions class defined on closed surfaces. These deformations were described in the context of deformations of correspondent Kronrod-Reeb graphs (in the case of Morse function the equipped KR-graph is Reeb graph in the usual sense). In addition to this, we procure the connections between optimality and polarity each of func-tions classes defined on a smooth compact oriented surface with the connected boundary (the boundary allows to be empty). The last considered in the thesis functions class consists of simple functions, all critical points of which are isolated, belong to the boundary, and the sets of function singularities and singularities of function restriction coincide. It is obtained their local topological classification, described atoms, and constructed optimality criterion. Subsequently, we investigate the full topological invariant for such functions being also optimal in the form of the chord diagram of saddle critical point.

В дисертацiйнiй роботi розглядаються певнi класифiкацiйнi задачi лiнiйної алгебри, а саме: класифiкацiя пар взаємоанулюючих, класифiкацiя матриць якi є самоконгруентими за допомогою матриць з одиничним визначником, критерiї унiтарної подiбностi для матриць в загальному положеннi та нормальних матриць, одночасна унітарна еквівалентність, та зведення пари кососиметричних матриць до її канонiчної форми вiдносно конгруентностi. Пари (A,B) взаємоанулюючих операторів AB=BA=0 на скiнченновимiрному векторному просторi над алгебраїчно замкненим полем були класифiкованi I.Гельфандом та В.Пономарьовим методом лінійних відносин. Класифікація такої пари (A,B) над довільним полем була Л.Назаровою, А.Ройтером, В.Сергейчуком та В.Бондаренко з класифікації скінченнопороджених модулів над діадою двох локальних дедекіндових кілець. В дисертації надано канонічні матриці пари (A,B) над довільним полем у явному вигляді та наведено конструктивне доведення: матриці (A,B) послідовно зводяться до їх канонічних форм перетвореннями подібності (A, B) ↦ (S^(-1)AS,S^(-1)BS). Д. Доковiч та Ф.Зехтман розглянули векторний простiр V, наділений білінійною формою. Вони довели, що усі iзометрiї V над полем F характеристики відмінної від 2 мають одиничний визначник тоді та тільки тоді, коли V не має ортогональних доданкiв непарної розмiрностi (випадок характеристики 2 був також розглянутий). Їх доведення базується на класифiкацiї бiлiнiйних форм Рiма. Е.Коклi, Ф.Допiко та Р.Джонсон надали iнше доведення цього критерiю над R та C, використовуючи канонiчнi пари Томпсона симетричних та кососиметричних матриць відносно конгруентності. Нехай M – матриця білінійної форми на V. Було надане інше доведення цього критерію над полем F використовуючи власні канонічні матриці відносно конгруентності та отримано необхідні та достатні умови, використовуючи канонічні форми M для конгруентності, пари (M^T, M) для еквівалентності, та M^(-T) M (якщо M невироджена) для подібності. Кожна квадратна комплексна матриця унітарно подібна верхньотрикутній матриці з діагональнимим елементами у будь-якому визначеному порядку. Нехай A=[a_ij] та B=[b_ij] – верхньотрикутні n×n матриці такі, що • вони не подібні прямій сумі матриць менших розмірів, або • вони є матрицями у загальному положенні та мають однакові головні діагоналі.У роботі доведено, що A та B унітарно подібні тоді та тільки тоді, якщо ∥h(A_k)∥ = ∥h(B_k)∥ для усіх h ∈ C[x] та k = 1,...,n,да A_k∶=[a_ij]_(i,j=1)^k та B_k∶=[b_ij]_(i,j=1)^k є лідуючими головними k×k підматрицями матриць A та B, та ∥ ⋅ ∥ - норма Фробеніуса. Надано декілька критеріїв унітарної подібності нормальної матриці A та довільної матриці B у термінах норм Фробеніуса, спектральних норм, характеристичних многочленів та слідів матриць. Нехай S_1, S_2, S_3, S_4 задана скінченна множина пар n-на-n комплексних матриць. Наведений алгоритм, що визначає за скiнченну кiлькiсть обчислень, чи iснує одна унiтарна матриця U така, що матрицi кожної пари з S_1 унiтарно подiбнi за допомогою U, з S_2 унiтарно конгруентнi за допомогою U, з S_3 унiтарно подiбнi за допомогою U ̅, та з S_4 унітарно конгруентні за допомогою U ̅.Нехай (A,B) – пара кососиметричних матриць над полем характеристики, відмінної від 2. Її регуляційний розклад – це пряма сума(▁A,▁B)⊕(A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t)що конгруентна (A, B), в якій (▁A,▁B) – пара невироджених матриць та (A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t ) – вироджені нерозкладні канонічні пари кососиметричних матриць відносно конгруентності. Надано алгоритм, що будує регуляційний розклад. Також надано конструктивне доведення канонічної форми (A,B) відносно конгруентності над алгебраїчно замкненим полем характеристики, відмінної від 2.^USeveral aspects of the classification problem in linear algebra are considered: classification of pairs of mutually annihilating operators, classification of matrices that are self-congruent only via matrices of determinant one, criterion of unitary similarity for upper triangular matrices in general position and normal matrices, simultaneous unitary equivalences, and reduction of a pair of skew-symmetric matrices to its canonical form under congruence. Pairs (A,B) of mutually annihilating operators AB = BA = 0 on a finite dimensional vector space over an algebraically closed field were classified by I.Gelfand and V.Ponomarev by method of linear relations. The classification of (A,B) over any field was derived by L.Nazarova, A.Roiter, V.Sergeichuk, and V.Bondarenko from the classification of finitely generated modules over a dyad of two local Dedekind rings. It is given canonical matrices of (A,B) over any field in an explicit form and our proof is constructive: the matrices of (A,B) are sequentially reduced to their canonical form by similarity transformations (A, B) ↦ (S^(-1)AS,S^(-1)BS). D.Docovi ́c and F. Szechtman considered a vector space V endowed with a bilinear form. They proved that all isometries of V over a field F of characteristic not 2 have determinant 1 if and only if V has no orthogonal summands of odd dimension (the case of characteristic 2 was also considered). Their proof is based on Riehm's classification of bilinear forms. E. Coakley, F. Dopico, and R. Johnson gave another proof of this criterion over R and C using Thompson's canonical pairs of symmetric and skew-symmetric matrices for congruence. Let M be the matrix of the bilinear form on V. It is given another proof of this criterion over F using our canonical matrices for congruence and obtain necessary and sufficient conditions involving canonical forms of M for congruence, of (M^T, M) for equivalence, and of M^(-T) M (if M is nonsingular) for similarity. Each square complex matrix is unitarily similar to an upper triangular matrix with diagonal entries in any prescribed order. Let A=[a_ij] and B=[b_ij] be upper triangular n × n matrices that • are not similar to direct sums of matrices of smaller sizes, or • are in general position and have the same main diagonal.It is proved that A and B are unitarily similar if and only if ∥h(A_k)∥ = ∥h(B_k)∥ for all h ∈ C[x] and k = 1,...,n,where A_k∶=[a_ij]_(i,j=1)^k and B_k∶=[b_ij]_(i,j=1)^k are the leading principal k×k submatrices of A and B, and ∥ ⋅ ∥ is the Frobenius norm. It is given several criteria of unitary similarity of a normal matrix A and any matrix B in terms of the Frobenius and spectral norms, characteristic polynomi- als, and traces of matrices. Let S_1, S_2, S_3, S_4 be given finite sets of pairs of n-by-n complex matrices. It is described an algorithm to determine, with finitely many computations, whether there is a single unitary matrix U such that each pair of matrices in S_1 is unitarily similar via U, each pair of matrices in S_2 is unitarily congruent via U, each pair of matrices in S_3 is unitarily similar via U ̅, and each pair of matrices in S_4 is unitarily congruent via U ̅.Let (A, B) be a pair of skew-symmetric matrices over a field of characteristic not 2. Its regularization decomposition is a direct sum (▁▁A, ▁▁B)⊕(A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t)that is congruent to (A, B), in which (▁▁A, ▁▁B) is a pair of nonsingular matrices and (A_1,B_1)⊕⋅⋅⋅⊕(A_t,B_t ) are singular indecomposable canonical pairs of skew- symmetric matrices under congruence. It is given an algorithm that constructs a regularization decomposition. We also give a constructive proof of the known canonical form of (A,B) under congruence over an algebraically closed field of characteristic not 2.

Побудованi новi нетривiальнi оцiнки повних чистих або твiстовихсум з многочленом в показнику над кiльцем цiлих елементiв уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Дослiдженi спецiальнi тригонометричнi суми Клостерманiвського типу над кiльцем цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Побудованi iнверснi конгруентнi генератори за модулем степенi простого рацiонального числа p, наведенi узагальнення iнверсного конгруентного генератора. Побудовано новий тип генераторiв, для яких рекурсiя генерування основана на властивостях елементiв так званої норменої групи, яка є пiдгрупою мультиплiкативної групи класiв лишкiв кiльця Z[i] за модулем p^m, де p - просте рацiональне число, яке не розпадається в полi Q(√(-d)), d>0. Розглядаються оцiнки тригонометричних суми на послiдовностях ПВЧ, черезякi оцiнюється дескрiпантна функцiя послiдовностей ПВЧ. Отриманi оцiнки дескрiпансiї узагальнених послiдовностей ПВЧ, породжених iнверсними генераторами, покращують результати Нiдерайтера i Шпарлiнського. Побудованi асимптотичнi формули суматорних функцiй для спецiальних арифметичних функцiй над кiльцями цiлих рацiональних або цiлих чисел уявного квадратичного розширення поля рацiональних чисел. Також отриманi оцiнки залишковихчленiв для суматорних функцiй, пов'язаних з розподлiлом значень τ_3 (α). Побудована асимптотична формула для кiлькостi цiлих гаусових чисел у вузькому секторi кола радiусу x^(1/2) , норми яких належать арифметичнiй прогресiї, рiзниця якої росте з зростанням i не перевищує x^(2/3), а розмiр кутового сектору прямує до нуля. Подiбнi оцiнки були отриманi нами в проблемi елiпсу на арифметичнiй прогресiї. Знайдено аналiтичний вираз перетворення Лапласа добутку пар -функцiй Геке Z_m (s;δ_1/γ,0) Z_m (s ̅;0,δ_2/γ). Дослiджена проблема зображення натуральних чисел квадратичними формами вiд n змiнних, яка узагальнює проблему Варинга. Побудована нова асимптотична формула для кiлькостi точок всерединi елiпса на арифметичнiй прогресiї.^UThis thesis is devoted to investigation the generating problems of the sequences of pseudorandom numbers using a competitive recursion of the prime power modulus, as well as the problems of analytical number theory that arise with constructing the asymptotic formulas for summatory functions associated with the distribution of divisor functions τ_k, k = 2,3 over the rings of rational integers or Gaussian integers. We introduced the construction of new non-trivial estimates of purely completed or twisted exponential sums with a polynomial in the exponent over the ring of Gaussian integers. In addition, there are investigated the special exponential sums of Klosterman type over the ring of integers of an imaginary quadratic expansion of the field of rational numbers. The studied norm Klosterman sums have no analogue in the rational case, and their estimates are used to obtain the estimates of an error terms in problems of analytic number theory such as the problem of circle (or ellipse) in arithmetic progression and in the coding theory with Klosterman code problems etc. The obtained estimates of the norm Klosterman sums are related to the results of P. Deligne and E. Bombieri on the Riemann hypothesis for algebraic varieties. R. Evans, G. Perelmuter, S. Stepanov, R. Dabrovsky, V. Fischer, H. Ivanets and others were engaged in the development of methods for estimating of such sums. The significance of the obtained results on estimates of completed exponential sums is that the asymptotic formulas for estimates of the distribution of arithmetic functions on arithmetic progressions are based on such estimates. The second part of thesis is devoted to construction the inversive congruential generators modulo the power of prime rational number p. We gave the generalizations of the inversive congruential generator. We also investigated the inversive congruential generator of second order. Here also we constructed a new type of generators for which the relative recursion is based on the properties of elements from so-called the norm group, which is a subgroup of the multiplicative group of residue classes of the ring Z[θ] modulo the p^m. We used the constructed exponential sums to obtain the non-trivial estimates for discrepancy function of sequences of PRN's. The obtained estimates of discrepant function improve the results of Niederreiter and Shparlinskii. The last part of thesis was being devoted to the problems of analytical number theory.

Дисертаційну роботу присвячено побудові комбінаторних тотожностей для деяких типів класичних многочленів, зокрема, з використанням ядра локально нільпотентних диференціювань комплексної алгебри многочленів від багатьох змінних. Вперше введені поняття про диференціювання Чебишева першого роду, диференціювання Чебишева другого роду і диференціювання Лагерра. Для ядер локально-нільпотентних диференціювань Чебишева першого роду та Лагера знайдено алгебричний та комбінаторний опис. Оскільки кожне таке диференціювання слугує джерелом тотожностей для відповідних многочленів, знайдено набір нових біноміальних тотожностей для класичних многочленів Лагерра. Задача знаходження ядра лінійного локально-нільпотетного диференціювання еквівалентна задачі знаходження алгебри інваріантів групи GL_2 , що призводить до виникнення локально-нільпотетних диференціальних операторів при переході до відповідної дії алгебри Лі sl_2 та її підалгебр. У випадку підгрупи UT_2 відповідна алгебра Лі діє диференціюванням, яке добре вивчене і носить назву базисного диференціювання Вейтценбека.Одним із важливих класів класичних многочленів, які мають широке застосування в теорії чисел, комбінаториці, теорії зображень є многочлени Аппеля, звичайна похідна яких співпадає із дією диференціювання Вейтценбека. З іншого боку, многочлени Аппеля представляють інтерес в контексті спеціальних функцій. Відомі сім'ї многочленів Аппеля, які допускають представлення через узагальнену гіпергеометричну функцію та її часткові випадки.Із ідентичності диференціювань Аппеля та Вейтценбека випливає існування ізоморфізму, який є переставний із дією обох диференціювань. У роботі встановлено явний вигляд ізоморфізму між ядрами диференціюваннь Вейтценбека і Чебишева другого роду.Існування апелевих сімей, які допускають представлення через узагальнену гіпергеометричну функцію, послугувало мотивацією для пошуку нової сім'ї многочленів із такою властивістю. Знайдені многочлени отримали назву “узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля”, частковими випадками цих многочленів є класичні многочлени Ерміта та многочлени Гоулда-Хоппера. Встановлено властивості узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, зокрема, вигляд породжуючоъ функцій, представлення у стандартному базисі та за допомогою ряду диференціального оператора.У якості нового наукового результату отримане рекурентне рівняння для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, знайдено розв'язок оберненої задачі узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля, розв'язки задач зв'язності для узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля та інших апелевих многочленів.Більшість формул є рекурентними, однак у деяких випадках вдалось отримати явні розв'язки. Наведені приклади показують, що у часткових – як експонента чи функція Куммера - випадках узагальненої гіпергеометричної функції, розв'язок оберненої задачі узагальнених гіпергеометричних многочленів Аппеля має явний вигляд.^UThe dissertation is devoted to the constructing of the polynomial identities for certain types of the classical polynomials with the usage of the kernel of the locally nilpotent derivations of complex value polynomial algebra in several indeterminates. The description of the Chebyshev first kind derivation, the Chebyshev second kind derivation and the Laguerre derivation are given. The kernels of the Chebyshev first kind derivation the Laguerre derivation are specified from boh algebraical and combinatorical point of view. As far as each such derivation generates some identities for the corresponding polynomials, the set of the new combinatorial identities for Laguerre polynomials is derived.The problem od description of the locally nilpotent derivation kernel is equivalent to the problem of obtaining GL_2 invariants, which implies the existence of the locally nilpotent operators regarding the corresponding Lie algebra sl_2 and its subalgebras. In the case of UT_2 the corresponding Lie algebra acts with the Weitzenbock basic derivation. The latter is a well-known locally nilpotent derivation.Appell polynomials arise in various fields of mathematics and in the other branches of science, in particular, quantum physics and theoretical chemistry, and have a wide range of properties. Since both the Appell derivation and the Weitzenbock basis derivation are expressed by the same formulas, there exists an isomorphism which is intertwining with the action of these derivations. The closed form of such isomorphism is obtained for Weitzenbock derivation and Chebyshev second kind derivation.On the other hand, Appell polynomials are in big interest regarding special functions. There exist some polynomial families which could be represented in the terms of the generalized hypergeometric function. Moreover, we were motivated to find a new Appell polynomial family having the generalized hypergeometric function's representation. Such a family was constructed and we call it the generalized hypergeometric Appell polynomials. The partial cases of the generalized hypergeometric Appel polynomials are the classical Gould-Hopper polynomials and the Hermite polynomials. The properties of the generalized hypergeometric Appell polynomials are established, in particular, the for of the generating function and the differential operator expansion.As a new result, the reccurence equation for the generalized hypergeometric Appell polynomials is obtained, as well as the solutions of the inverse problem of the generalized hypergeometric Appel polynomials and the solutions of connection problems between the generalized hypergeometric Appell polynomialsn and other Appell families. Most of the formulas occurred to be reccurance, but some explicit forms are derived as well. The examples of the explicit form of generalized hypergeometric Appel polynomials connection problem solutions are given in the case of exponenta and Kummer function.

Систематично розвинуто, у повнiй природнiй загальностi, основи теорiї функцiй вiльних некомутуючих змiнних. Ця теорiя пропонує єдиний спосiб розгляду багатьох вiльних некомутативних об'єктiв, що виникають у рiзних галузях математики. Побудовано некомутативне рiзницево-диференцiальне числення, аж до некомутативної формули Тейлора. Отримано необхiднi i достатнi умови для коефiцiєнтiв некомутативного степеневого ряду щоб складати тейлоровi коефiцiєнти некомутативної функцiї. Доведено що некомутативна функцiя, що є многочленом вiд матричних елементiв для кожного розмiру матриць, обмеженої степенi, має бути некомутативним многочленом. Доведено, що локально обмежена некомутативна функцiя має бути аналiтичною. Розвинуто теорiю збiжностi для некомутативних степеневих рядiв з матричним центром. В дисертацiї також розв'язано кiлька задач у спецiальних класах некомутативних функцiй.^UThe foundations of the theory of functions of free noncommuting variables are systematically developed, in complete natural generality. This theory offers the unified way to view many free noncommutative objects that arise in different branches of mathematics. A noncommutative difference-differential calculus is constructed, up to the noncommutative Taylor formula. Necessary and sufficient conditions for the coefficients of the noncommutative power series are obtained to make the Taylor coefficients of the noncommutative function. It is proved that a noncommutative function that is a polynomial of matrix entries for each size of matrices, of bounded degree, must be a noncommutative polynomial. It is proved that a locally bounded noncommutative function must be analytic. The theory of convergence for noncommutative power series with matrix center is developed. The dissertation also solves several problems in special classes of noncommutative functions.

У першому роздiлi розглянуто наближення монотонними кусково полiномiальними неперервними функцiями (сплайнами) монотонних на вiдрiзку функцiй. Спочатку доводиться негативний результат, про те, що для кожного натурального r та для кожного розбиття вiдрiзка знайдеться монотонна нескiнченно диференцiйовна на цьому вiдрiзку функцiя така, що будь-який неперервний сплайн степеня r за вказаним розбиттям не може iнтерполювати в кiнцях вiдрiзку жодної похiдної цiєї функцiї , якщо вiн iнтерполює саму функцiю в кiнцях вiдрiзка (див. теорема 1.2.1). Цей негативний результат приводить до припущення, щонаближення монотонних функцiй монотонними сплайнами не можливе при умовi високого порядку iнтерполяцiї. Проте наступний позитивнийрезультат спростовує це припущення (див. теорема 1.2.4). Виявляється, кожну монотонну функцiю високої гладкостi можна, як завгодно добре, наблизити вказаними сплайнами з високим порядком iнтерполяцiї, якщо дiаметри розбиттiв будуть меншими, нiж достатньо мала стала H, яка залежить вiд функцiї. Основним результатом роздiлу 1 є теорема 1.1.1.. У пiдроздiлi 1.4 показано, що у випадку монотонного наближення аналоги результатiв роботи [12], якi отриманi для випадку опуклого наближення, також справедливi у вiдповiднiй точнiшiй формi (див. теореми 1.4.4 та 1.4.5).У друому роздiлi розглянуто наближення гладких опуклих функцiй f на промiжку опуклими алгебраїчними многочленами, якi iнтерполюють f i його похiднi в кiнцевих точках цього iнтервалу. Основним результатом роздiлу 2 є теорема 2.12.. Одним iз важливих наслiдкiв основ-ної теореми є твердження для будь-якої опуклої на [-1; 1] функцiї f з простору Соболєва W^r. В третьому роздiлi показано, що (1) є невiрним, взагалi кажучи, зномером N не залежним вiд f i для дробових похiдних порядку r > 3 (див. теорема 3.3.1 i теорема 3.4.1).Основна новизна дослiдження полягає у отриманнi iнтерполяцiйних оцiнок для монотонного та опуклого наближення функцiй. Дисертацiя має теоретичний характер, але так само, як i iншi результати цього напрямку можуть мати практичнi застосування.^UIn the first section, the approximation by monotone piecewise polynomial continuous functions (splines) of monotonic functions on a segment is considered. First, we prove a negative result, that for each natural r and for each partition of the segment there is a monotonic infinitely differentiable function on this segment such that any continuous spline of degree r cannot interpolate at the end of any part of the line. if it interpolates the function itself at the ends of the segment (see Theorem 1.2.1). This negative result leads to the assumption thatapproximation of monotone functions by monotone splines is not possible under the condition of high order of interpolation. However, the next is positivethe result refutes this assumption (see Theorem 1.2.4). It turns out that each monotonic function of high smoothness can be approximated arbitrarily by these splines with a high order of interpolation if the diameters of the partitions are smaller than a sufficiently small constant H, which depends on the function. The main result of Section 1 is Theorem 1.1.1. In Subsection 1.4 it is shown that in the case of a monotonic approximation the analogues of the results of [12] obtained for the case of a convex approximation are also valid in the corresponding more accurate form (see Theorems 1.4.4 and 1.4 .5).In the second section, we consider the approximation of smooth convex functions f to an interval by convex algebraic polynomials that interpolate f and its derivatives at the endpoints of this interval. The main result of Section 2 is Theorem 2.12. One of the important consequences of the basicThe theorem is a statement for any convex on [-1; 1] of the function f from the Sobolev space W ^ r. In the third section it is shown that (1) is incorrect, generally speaking, cthe number N is independent of f i for fractional derivatives of order r> 3 (see Theorem 3.3.1 and Theorem 3.4.1).The main novelty of the study is to obtain interpolation estimates for monotonic and convex approximation of functions. The dissertation has a theoretical character, but as well as other results of this direction can have practical applications.