Дисертація стосується розроблення нового підходу до використання методу скінченних елементів для сингулярно-збурених задач адвекції-дифузії-реакції. Основна ідея запропонованого підходу полягає у використанні експоненціальної заміни у початково-крайовій задачі. Для такої задачі здійснено варіаційне формулювання і після застосування формули Гріна проведено зворотну експоненціальну заміну. Цей процес призвів до видозміненого, у порівнянні з класичним підходом, варіаційного формулювання задачі. Дискретизацію за просторовими змінними запропонова¬но здійснювати із використанням лінійного базису.Здійснено теоретичні дослідження порядку збіжності запропонованої схеми та показано істотні переваги в порівнянні з класичним підходом. Проведено низку числових експериментів, які показали високу ефективність запропонованого методу, а обчислення його експериментального порядку збіжності підтвердило результати теоретичних досліджень.Як прикладну задачу розглянуто математичну модель процесу поширення ліків у стінці судини при лікуванні атеросклерозу. Для пошуку її наближених розв'язків застосовано розроблену схему та здійснено аналіз одержаних результатів.^UThis work is devoted to the development of the new scheme of applying finite element method to the singular-perturbed problems of advection-diffusion-reaction. The basic idea of the approach proposed in the dissertation was to use exponential replacement in the initial boundary value problem. Then, for a modified problem, the variational formulation has been obtained and after applying Green's formula an inverse exponential replacement has been applied. This process has been lead to a modification of the advection-diffusion-reaction variational problem in comparison with the classical approach. It was suggested to discretize the variational problem by the spatial variables using a linear basis.Theoretical studies have been carried out regarding the existence and uniqueness of the solution of the weak formulation of the problem, as well as the order of convergence of the proposed method. Numerical calculations have shown the high efficiency of the proposed method, and verification by calculating the experimental order of convergence has confirmed the results of theoretical studies.A mathematical model describing the process of drug distribution in the vessel wall in the treatment of atherosclerosis was considered as an applied problem. The exponential replacement in the finite element method has been used to find its approximate solutions and the results of calculations have been analyzed.

Розглянуто двовимірну задачу адвекції-дифузії-реакції у неоднорідному середовищі з тонким криволінійним каналом. Побудовано гетерогенну математичну модель задачі шляхом застосування техніки пониження вимірності. Сформульовано та доведено теореми існування і єдиності розв'язку відповідної варіаційної задачі. Здійснено теоретичне дослідження збіжності різномасштабного методу скінченних елементів при його застосуванні до задач адвекції-дифузії-реакції та виведено відповідні теоретичні оцінки. На основі розробленого програмного забезпечення проведено низку числових експериментів та показано, що різномасштабний метод скінченних елементів є ефективним для розв'язування сформульованої задачі з великими числами Пекле як в однорідному, так і в різномасштабному середовищах.^UThe two-dimensional problem of advection-diffusion-reaction in an inhomogeneous medium with a thin curvilinear channel is considered. A multidimensional mathematical model of the problem is constructed by applying the technique of dimension reducing. The theorems of existence and uniqueness of the solution of the appropriate variational problem are formulated and proved. A theoretical research of the convergence of the multiscale finite element method in its application to advection-diffusion-reaction problems is carried out and the corresponding theoretical estimates are derived. A series of numerical experiments have been performed using the developed software. It is shown that the multiscale finite element method is effective for solving the formulated problem with large Peclet numbers in both homogeneous and multiscale environments.